2.3 第一课时 半角公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.3　简单的三角恒等变换 第一课时　半角公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法 1.在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养． 2.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算和逻辑推理的核心素养 sin ＝±_，cos ＝±_， tan ＝± ＝＝. 以上有关半角三角函数的公式，称之为半角公式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若α≠kπ，k∈Z，则tan ＝＝恒成立．(　　) (2)sin2＝.(　　) (3)tan α＝.(　　) (4)tan ＝ .(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ C　[由题意知∈，∴cos ＞0， cos ＝ ＝.] 3．已知cos α＝，α∈，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D． A　[由题知∈，∴sin ＞0，sin ＝ ＝.] 4．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 的值等于________． －　[因为5π<θ<6π，所以<<，所以sin ＝－ ＝－＝－.] [知能解读]　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . 解　sin ＝± ＝± ＝±， cos ＝± ＝± ＝±， tan ＝± ＝±＝±. ∵α为第四象限角，∴为第二或第四象限角． 当为第二象限角时， sin ＝，cos ＝－，tan ＝－； 当为第四象限角时， sin ＝－，cos ＝，tan ＝－. [方法总结]　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值． [训练1]　已知sin θ＝－，3π＜θ＜，则tan 的值为(　　) A．3 B．－3 C． D．－ B　[∵3π＜θ＜，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan ＝＝＝－3.] 化简． 解　∵＜α＜2π，∴＜＜π，cos ＜0. ∴原式＝ ＝ ＝cos2－sin2＝cosα. [变式]　将例2代数式变为“”化简此代数式． 解　 ＝ ＝＝ ＝＝1. [方法总结]　对于三角函数式的化简有下面的要求 (1)能求出值的应求出值； (2)使三角函数种数尽量少； (3)使三角函数式中的项数尽量少； (4)尽量使分母不含有三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数 [训练2]　已知π<α<，化简下面的式子． ＋. 解　原式＝＋ ， ∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0. ∴原式＝＋＝ －＋＝－cos . 证明：＝tan . 证明　左边＝ ＝＝ ＝·＝tan＝右边． ∴原等式成立． [方法总结]　三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． [训练3]　求证：＝sin 2α. 证明　左边＝＝＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．∴原式成立． 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A．　　　　B．－　　　　C．±　　　　D．± A　[由题意知∈， ∴cos >0，cos ＝ ＝.] 2．(多选题)化简下式，与tan α相等的是(　　) A. B. ·，α∈(0，π) C． D． BC　[对于A, ＝ ＝＝＝|tanα|，由≥0解得－1<cos 2α≤1，即2α≠π＋2kπ(k∈Z)，解得α≠＋kπ(k∈Z)，故A错误；对于B，因为α∈(0，π)，所以 ·＝·＝·＝＝＝tan α，故B正确；对于C，＝＝＝tan α，故C正确；对于D，＝＝＝，故