阶段测评(一) 导数概念及其意义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(一)　导数概念及其意义 [对应学生用书P165] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．π D．π2 C　解析：平均变化率为＝＝π. 2．设函数y＝f(x)的导函数为f ′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 A　解析：∵点P(1，f(1))在切线x－y＋2＝0上， ∴1－f(1)＋2＝0，解得f(1)＝3； 又k＝f′(1)＝1，∴f(1)＋f′(1)＝4. 3．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) C　解析：y＝f(x)＝x＋， 所以当d→0时， ＝1－→1－， 则k＝1－＜1. 4．若当d→0时，→－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是(　　) A． B． C． D． C　解析：因为当d→0时，＋→2f ′(2)＝－2，所以f ′(2)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为－1， 故所求切线的倾斜角为. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是(　　) ACD　解析：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡．B选项的图象是逐步提高的，故选A，C，D. 6．已知函数y＝f(x)在自变量x0处的改变量为d，f(x)在x0处的导数值为f ′(x0)，则下列关系式中正确的是(　　) A．→f′(x0)(d→0) B．→f′(x0)(x→x0) C．→f′(x0)(d→0) D．→f′(x0)(d→0) ABD　解析：根据导数的定义可知，A正确；若令x＝x0＋d，当x→x0时，d→0，则＝→f′(x0)(d→0)，B正确；根据导数的定义，C错误；根据导数的定义可知，＝→f′(x0)(d→0)，D正确． 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．若函数f(x)在x＝0处的导数等于－2，则当d→0时，→________． －1　解析：由已知得f′(0)＝－2，则当d→0时， ＝·→f′(0)＝－1. 8．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________． ±1　解析：∵当d→0时，→3a2，∴曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为(a，0).∴三角形的面积为·|a3|＝，解得a＝±1. 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值． 解：设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则当d→0时， →3x2－4x. 由导数的几何意义， 得k＝f ′(x0)＝3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切点坐标为(－，)或(2，3). 当切点为(－，)时， ＝4×(－)＋a，∴a＝. 当切点为(2，3)时，3＝4×2＋a，∴a＝－5， 因此切点坐标为(－，)或(2，3), a的值为或－5. 10．(12分)如果曲线f(x)＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程． 解：∵切线与直线y＝3x＋4平行， ∴切线的斜率为3. 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3. 又 ＝ ＝＝d＋2x0＋1 →2x0＋1＝f′(x0)(d→0)， ∴2x0＋1＝3.从而x0＝1， 代入y＝x2＋x－3得y0＝－1， ∴切点坐标为(1，－1). 切线的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0. 11．(13分)某一运动物体，在x(单位：s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x. (1)求在第1 s内的平