阶段测评(五) 空间向量在立体几何中的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(五)　空间向量在立体几何中的应用 [对应学生用书P215] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．平面α的法向量u＝(2，－2，2)，平面β的法向量v＝(1，2，1)，则下列命题正确的是(　　) A．α，β平行　　　　 B．α，β垂直 C．α，β重合 D．α，β不垂直 B　解析：平面α的法向量u＝(2，－2，2)，平面β的法向量v＝(1，2，1)， 因为u·v＝2－4＋2＝0，所以两个平面垂直． 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， ∴＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴cos 〈，〉＝＝＝. ∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为. 3．在四棱锥P­ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于(　　) A．2　　 B．1 C．13　　　D．26 A　解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，则y＝4，z＝，n＝(1，4，)，则cos 〈n，〉＝－， ∵＝|cos 〈n，〉|，∴h＝×2＝2. 4．直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是(　　) A． B．－ C．－ D． D　解析：直三棱柱ABC­A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点． 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系， 设AC＝BC＝AA′＝2， 则C(0，0，0)，E(0，2，1)，C′(0，0，2)， A(2，0，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，－2)， 设异面直线CE与C′A所成角为θ， 则cos θ＝＝＝. ∴异面直线CE与C′A所成角的余弦值为. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB，则下列说法正确的是(　　) A．BC1∥平面A1CD B．BC1⊥平面A1CD C．平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值为 D．平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值为 AC　解析：连接AC1，交A1C于点F，连接DF， 则F为AC1的中点． 又因为D是AB的中点，所以BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.选项A正确． 由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC. 以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz. 设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)， ＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2). 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量， 则即 可取n＝(1，－1，－1). 同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量， 则即 可取m＝(2，1，－2). 从而cos 〈n，m〉＝＝， 故sin 〈n，m〉＝， 即平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值为.选项C正确． 6．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．B1G⊥BC B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1 C．A1H∥平面AEF D．二面角E­AF­C的大小为 BC　解析：由题可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，则选项A不正确； 连接AD1和BC1，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，所以△AEF⊂平面AD1EF，则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确； 由题知，可设正方体的棱长为2， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 则各点坐标如下： A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)， A1(2，0，2)，H(2，2，1)，F(1，2，0) ＝(0，2，－1)，＝(－1，2，0)， ＝(1，0，－1)，＝(0，0，2)，