阶段测评(四) 空间向量的概念及其运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(四)　空间向量的概念及其运算 [对应学生用书P200] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知向量a＝(3，2，1)，b＝(2，4，0)，则4a－2b＝(　　) A．(16，0，4)　　　　　　 B．(8，16，4) C．(8，－16，4) D．(8，0，4) D　解析：4a－2b＝4(3，2，1)－2(2，4，0)＝(12，8，4)－(4，8，0)＝(8，0，4). 2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置DA2B2C2­D3A3B3C3中放一个单位正方体礼盒DABC­D1A1B1C1，现以点D为坐标原点，DA2、DC2、DD3分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D ­xyz，则正确的是(　　) A．D1的坐标为(1，0，0) B．D1的坐标为(0，1，0) C．B1B3的长为－ D．B1B3的长为 D　解析：由所建坐标系可得： D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，B3(2，3，4)， |B1B3|＝＝. 3．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝(　　) A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11 A　解析：因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为， 所以＝， 解得x＝3或x＝－11(舍去). 4．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点M在直线OC上运动．当·取最小值时，点M的坐标为(　　) A．(2，2，4) B．(，，) C．(，，) D．(，，) D　解析：设＝λ， 即＝λ＝(λ，λ，2λ)，故M(λ，λ，2λ)， ·＝(－)·(－) ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－， 当λ＝时，向量数量积有最小值，此时M(，，). 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列式子的计算结果为－a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· ABC　解析：2·＝－a2，A符合； 2·＝－a2，B符合； 2·＝－a2，C符合； 2·＝－a2，D不符合． 6．在四面体P­ABC中，以上说法正确的有(　　) A．若＝＋，则可知＝3 B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ C．若·＝0，·＝0，则·＝0 D．若四面体P­ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1 ABC　解析：对于A，∵＝＋， 3＝＋2， ∴2＝，∴3＝＋， 即3＝，故A正确； 对于B，若Q为△ABC的重心， 则＋＋＝0， ∴3＋＋＋＝3， ∴3＝＋＋即＝＋＋，故B正确； 对于C，若·＝0，·＝0， 则·＝·， ∴·＋·＝0， ∴·＋·(＋)＝0. ∴(－)·＋·＝0， ∴·＋·＝0， ∴·＋·＝0， ∴·(＋)＝0， ∴·＝0，故C正确； 对于D，∵＝－ ＝(＋)－ ＝(＋－). ∴||＝|－－|， ∵|－－|＝ ＝ ＝2， ∴||＝，故D错误． 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．) 7．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基，则＝________． －－＋　[＝－ ＝＋－ ＝＋－(＋) ＝＋－－－ ＝－－＋. 8．如图，在正三棱柱ABC ­A1B1C1中， AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1上的(包括两个端点)动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为________. 2　解析：以E为原点，EA，EC为x，y轴建立空间直角坐标系，如图． E(0，0，0)，F(，，2)，B(0，－1，0)，D(0，t，2)(－1≤t≤1)， ＝(，，2)，＝(0，t＋1，2)， 设与所成的角为θ， cos θ＝＝＝， 解得t＝1，所以BD＝2. 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)如图，已知ABCD­A1B1C1D1是平行六面体．设点M是底面ABCD的中心，点N在BC1上且BN＝BC1，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 解：因为＝＋＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(－)＋(＋) ＝－＋＋ ＝＋＋， 所以α＝，β＝，γ＝. 10．(12分)如图，已知O