阶段测评(三) 导数在研究函数中的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(三)　导数在研究函数中的应用 [对应学生用书P186] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 C　解析：在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，C对；在x＝2处取极小值，D错． 2．已知函数f(x)＝x＋e－x，则函数f(x)在[－1，1]的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋ C．－1＋e D．1－ A　解析：f(x)＝x＋e－x，x∈[－1，1]， 则f′(x)＝1－e－x＝，x∈[－1，1]， 当－1≤x＜0时，f′(x)＝＜0，f(x)单调递减； 当0＜x≤1时，f′(x)＝＞0，f(x)单调递增． 则f(x)在x＝0时取得最小值f(0)＝0＋e0＝1. 3．函数f(x)＝x3－2cx2＋c2x在x＝2处取极小值，则c＝(　　) A．6或2 B．6或－2 C．6 D．2 D　解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝3x2－4cx＋c2， ∴f′(2)＝12－8c＋c2＝0，∴c＝2或c＝6. 当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)， 当x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜6时，f′(x)＜0，函数f(x)在x＝2处取极大值，不符合题意，舍去； 当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)， 当x＞2时，f′(x)＞0，当＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)在x＝2处取极小值．∴c＝2. 4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若f′(x)－f(x)<－3，f(0)＝4，则不等式f(x)>ex＋3的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) B　解析：由不等式f(x)>ex＋3得>1＋，所以>1.设g(x)＝，所以g′(x)＝<0，所以g(x)在R上单调递减．因为g(0)＝＝1，所以g(x)>g(0)，所以x<0. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)只有一个极值点 B．函数f(x)满足f(－4)＜f(－1)，且在x＝－4处取得极小值 C．函数f(x)在x＝2处取得极大值 D．函数f(x)在(－∞，－4)内单调递减 AC　解析：由导函数的图象可得，当x<2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，只有当x＝2时函数取得极大值，无极小值． 6．若函数f(x)＝2x3－ax2(a<0)在(，)上有最大值，则a的取值可能为(　　) A．－6 B．－5 C．－4 D．－3 ABC　解析：令f′(x)＝2x(3x－a)＝0， 得x1＝0，x2＝(a<0)， 当<x<0时，f′(x)<0； 当x<或x>0时，f′(x)>0， 则f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(0，＋∞)，单调递减区间为(，0)， 从而f(x)在x＝处取得极大值f()＝－， 由f(x)＝－，得(x－)2(2x＋)＝0， 解得x＝或x＝－， 又f(x)在(，)上有最大值， 所以<≤－，即a≤－4. 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________． 1　解析：由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝<2，当0<x<时，f′(x)>0； 当<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减，∴f(x)max＝f()＝－ln a－1＝－1，解得a＝1. 8．设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________． －1　(－∞，0]　解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数