单元素养强化(四) 概率（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

单元素养强化(四)　概　率 [对应学生用书P274] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量 B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0 C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的数学期望 D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布 ABD　解析：公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的数学期望的计算，适用于二项分布的数学期望的计算． 2．设0＜a＜1.随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在(0，1)内增大时(　　) A．E(X)不变 B．E(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 D　解析：E(X)＝0×＋a×＋1×＝， ∴E(X)增大； D(X)＝(0－)2×＋(a－)2×＋(1－)2× ＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2] ＝(a2－a＋1)＝(a－)2＋， ∵0＜a＜1，∴D(X)先减小后增大． 3．盒中装有8个乒乓球，其中5个新球，3个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　) A．　　　B．　　　　C．　　　　D． B　解析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有7个球，这7个球中有4个新球和3个旧球，则在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率P＝. 4．若某射击手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，每次射击的结果相互独立，在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则p的值为(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意知，Cp3(1－p)5＝Cp5(1－p)3， 即(1－p)2＝p2，解得p＝(舍去)或p＝. 5．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列某个区间内，这个区间是(　　) A．(90，110) B．(95，125) C．(100，120) D．(105，115) C　解析：因为X～N(110，52)，所以μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105，115)，(100，120)，(95，125)上的概率分别应是0.682 7，0.954 5，0.997 3.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 7≈41(人)，60×0.954 5≈57(人)，60×0.997 3≈60(人). 6．(多选)甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是(　　) A．A1，A2，A3是两两互斥的事件 B．事件B与事件A1相互独立 C．P(B)＝ D．P(B|A2)＝ AD　解析：对A，从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A1发生，此时事件A2，A3一定不会发生，即A1，A2，A3两两互斥，故A正确；对B，事件A1发生与否，直接影响到事件B的发生，故B与A1相互不独立，故B错误；对C，P(B)＝P[B∩(A1∪A2∪A3)]＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，故C错误；对D，P(B|A2)＝＝＝，故D正确． 7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． 0．8　解析：∵X～N(1，σ2)，且P(0＜X＜1)＝0.4， ∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝0.8. 8．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，则公司应要求投保人交纳的保险金为________元． (0.1＋p)a　解析：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，则其分布列为 X x x－a P 1－p p 所以保险公司每年收益的均值为E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，由题意可知x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a. 即投保人交(0.1＋p)a元保险金时，可使保险公司收益的均值等于a的10%. 9．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P －p p 则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________． 　1　解析：由分布列的性质可知p∈， 则E(X)＝p＋1∈， 故E(X)的最大值为. ∵D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)