2.4.4 向量与距离 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P212] 1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B．1 C． D．2 A　解析：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)， ＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)， ∴点A到直线BC的距离为 d＝|| ＝1× ＝. 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　) A．1 B． C． D． C　解析：以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1，1，)，F(2，1，)， 所以FE＝ ＝. 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　　) A．a B．a C．a D． A　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a). ∴＝(0，a，－a)，＝(－a，0，a). ∴||＝a，||＝a， ∴点A1到BC1的距离 d＝ ＝ ＝a. 4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A． B． C． D． B　解析：建立如图所示的坐标系， 则A1(0，1，0)，B(0，－1，1)，C(，0，1)， A(0，1，1)，＝(0，0，1)， ＝(0，－2，1)，＝(，－1，1)， 设平面A1BC的一个法向量为a＝(x，y，z)， 由得 取z＝1，则a＝(－，，1)， 所以点A到平面A1BC的距离 d＝＝＝. 5．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　) A． B． C． D． D　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)， M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0). 所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，). 所以＝． 又直线AD1与MN不重合， 所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1， 所以MN∥平面ACD1. 因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)， 设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1). 又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)， 所以点M到平面ACD1的距离 d＝＝＝. 故直线MN与平面ACD1间的距离为. 6．(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有(　　) A． B． C．3 D．2 ABCD　解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)， 所以＝(－3，－3，3)，＝(3，3，0). 因为＝＝(－1，－1，1)， 所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1). 所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝， |PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3， |PB|＝，|PD1|＝＝2. 故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2. 7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A． B． C． D．1 B　解析：过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)， 则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z). 因为所以 解得，所以＝(－，，)， 所以点B到直线A1C的距离||＝. 8．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，则点B到平面AEF的距离为__________． 　解析：∵四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为菱形， ∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD， ∴以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AB＝2，PA＝，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD， ∴A(0，0，0)，B(，－1，0)，E(，0，0)，P(0，0，)，D(0，2，0