2.4.3 向量与夹角 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P209] 1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． C　解析：因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)， 所以cos 〈s1，s2〉＝＝＝－. 又两直线夹角的取值范围为(0，]， 所以l1和l2夹角的余弦值为. 2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)， ＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1). 故cos 〈，〉＝＝＝. 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． B　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，设正方体棱长为1，则 A1(1，0，1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1，1，1). ∴＝(0，1，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，，0). 设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝2，则 ∴n＝(1，2，1)，cos 〈n，〉＝＝. 设A1B1与平面A1EF的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝， 即所求A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为. 4．(多选)正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　) A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 BC　解析：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系； 设AB＝2，则AA1＝2. ∴A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)， C(0，1，2)，B1(，0，0)， ∴＝(0，2，－2). 底面ABC的其中一个法向量为m＝(0，0，2)， ∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为 |cos 〈m，〉|＝＝＝， ∴A错B对． ∵A1B1的中点K的坐标为(，－，0)， ∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝(－，，0)， ∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 |cos 〈，〉|＝＝＝，故C对D错． 5．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　) A． B． C． D． A　解析：∵AB＝1，AC＝2，BC＝， AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC. ∵三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC. 以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，则A(0，1，0)，C(，0，0).设B1(0，0，a)，则C1(，0，a)， ∴D(，，)，E(0，0，)， ∴＝(－，－，0)，平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，1，0).设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈，〉|＝，∴α＝. 6．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　解析：A中，如图，取BD中点O，连接AO，CO， 易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确． B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a， 则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)， D(0，a，0)， 故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)， 由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－， 故两异面直线所成的角为60°，故B正确． C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，故C正确． D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误． 7．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为时，则AE等于(　　) A．1 B． C．2－ D．2－ D　解析：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 设AE＝m.0≤m