2.3.2 空间向量运算的坐标表示 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P198] 1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 A　解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)， q＝a＋2b－c＝(0，3，1)， ∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1. 2．(多选)下列每对向量平行的是(　　) A．a＝(1，2，1)，b＝(1，2，－1) B．a＝(－2，－4，2)，b＝(1，2，－1) C．a＝(2，1，1)，b＝(4，2，2) D．a＝(1，1，0)，b＝(－1，－1，0) BCD　解析：对于选项A，＝≠，a与b不平行，A不符合；对于选项B，＝＝，a∥b，B符合；对于选项C，＝＝，a∥b，C符合；对于选项D，b＝－a，a∥b，D符合． 3．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° A　解析：a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)， 所以(a＋b)·(a－b)＝0， 所以(a＋b)⊥(a－b).即向量a＋b与a－b的夹角是90°. 4．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－2，)∪(，＋∞) C．(－∞，－2) D．(，＋∞) B　解析：因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0且〈a，b〉≠180°. 由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1，1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2. 若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使b＝λa， 即(－1，x－1，1)＝λ(3，－2，－3)， 所以解得x＝. 所以x的取值范围是(－2，)∪(，＋∞). 5．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ， 又因为a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉＝××＝，所以 ＝－λ. 解得λ2＝，所以|a|＝ ＝. 6．(多选)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则下列k的值满足△ABC为直角三角形的有(　　) A． B．－ C． D．－ ABCD　解析：若∠A＝90°，＝(－3，－1，3k)，＝(3，－2，k)，则·＝(－3)×3＋(－1)×(－2)＋3k×k＝3k2－7＝0，∴k＝±. 若∠B＝90°，＝(3，1，－3k)，＝(6，－1，－2k)， 则·＝3×6＋1×(－1)＋(－3k)×(－2k)＝6k2＋17＝0，此时k无解． 若∠C＝90°，＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)， 则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±. 7．(多选)对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的有(　　) A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 B．若a∥b，则＝＝ C.cos 〈a，b〉 D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量 BD　解析：对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确； 对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，但分式无意义，B选项错误； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos 〈a，b〉＝，C选项正确； 对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，此时，a不是单位向量，D选项错误． 8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则c＝________(用向量a，b表示)，实数λ＝________． a＋b　　解析：∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb， 即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)， ∴解得 ∴c＝a＋b，λ＝3x－2y＝. 9．若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________． (，，)或(－，－，－)　解析：设a＝(x，y，z)， 由题意有 代入坐标可解得或 即a＝(，，)或(－，－，－). 10．已知空间三点A(－1，2，1)，B(0，1，－2)，C(－3，0，2). (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量3－与向量＋k垂直，求实数k的值． 解：(