2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P195] 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， C　解析：，，共面，排除A； ，，共面，排除B； ，，共面，排除D； ，，三个向量是不共面的，可以作为一组基． 2．已知平行六面体OABC­O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　) A．＝－a＋b＋c B．＝－b－a－c C．＝a－b－c D．＝a－b＋c D　解析：＝＋ ＝－＋(＋) ＝－＋ ＝a－b＋c. 3．(多选)已知A，B，C，D，E是空间五点，若{，，}，{，，}均不能构成空间的一个基，则在下列四个结论中，正确的是(　　) A．{，，}不构成空间的一个基 B．{，，}不构成空间的一个基 C．{，，}不构成空间的一个基 D．{，，}能构成空间的一个基 ABC　解析：由{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基可知，，，为共面向量，即A，B，C，D，E五点共面，故A，B，C正确． 4．(多选)若a，b，c不共面，则(　　) A．b＋c，b－c，a共面 B．b＋c，b－c，2b共面 C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面 BCD　解析：∵2b＝(b＋c)＋(b－c)， ∴b＋c，b－c，2b共面，故B正确； ∵a＋b＋c＝(b＋c)＋a， ∴b＋c，a，a＋b＋c共面，故C正确； ∵a＋c＝(a－2c)＋3c， ∴a＋c，a－2c，c共面，故D正确． 对于A选项， 若设b＋c＝λ(b－c)＋μa， 则b＋c＝λb－λc＋μa得故无解， 因此b＋c，b－c，a不共面． 5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　) A．，－，－1 B．，，1 C．－，，1 D．，－，1 A　解析：d＝xa＋yb＋zc ＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3， 又d＝e1＋2e2＋3e3， ∴解得x＝，y＝－，z＝－1. 6．在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，BC的中点为M，＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为__________． c＋(b－a)　解析：在▱DB1BM中，＝＋， 又BC的中点为M，＝， ∵A1B1C1­ABC是斜三棱柱， ＝，＝，＝＋， 在△A1B1C1中，＝－， ＝＋(－)＝c＋(b－a). 7．已知空间的一个基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 1　－1　解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得 8．若{a，b，c}是空间的一组基，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是____________． x＝y＝z＝0　解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一组基，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 9．如图的平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________． 　解析：连接AN，AM(图略)， 因为＝－， ＝＋，＝＋， 所以＝＋－－＝－＋＋， 所以x＋y＋z＝－1＋1＋＝. 10．如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面． 解：由题图可得＝＋＋.① 因为＝＋＋，② 又＝－，＝－， 所以①＋②得2＝＋， 即＝＋， 故向量与向量，共面． 11．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) A　解析：如图，由已知＝ ＝(＋) ＝ ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋， 从而x＝y＝z＝. 12．在以下命题中，真命题的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面 D．若a，b，c是不共面的向量，则a＋b，b＋c，c＋a也构成空间向量的一组基底 D　解析：A.若a，b不共线，则向量加法的三角形法则有|a|－|b|＜|a＋b|，但当a，b同向时，也有|a|－|b|＜|a＋b|，因此|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充分不充要条件，A错误； B．若a∥b，当b＝0时，不存在唯一的实数λ，使a＝λb，B错误；