2.2 第2课时 向量的数量积 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P193] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 BD　解析：由于数量积不满足结合律，故A不正确，由数量积的性质知B正确，C中，a2b＝b2a一定不成立，D运算正确． 2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 A　解析：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|⇔cos 〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，则a，b同向，当a与b反向时，不能成立． 3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6　　　　　　 B．6 C．12 D．144 C　解析：因为＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以||＝12. 4．(多选)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1，相交于点O，则(　　) A．·＝1　　　　 B．·＝ C．·＝ D．·＝1 AC　解析：方法一：·＝·(＋)＝2＝1，故A正确； ·＝·(＋＋)＝2＝1， 故B错误； ·＝·＝，故C正确； ·DA1＝·(＋)＝－2＝－1，故D错误； 方法二：·＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝1××＝1，故A正确； 由正方体的性质可知，AC1＝，BC1＝， ·＝||||cos 〈，〉 ＝||||·＝1××＝1，故B错误； ·＝·＝，故C正确； ·＝·＝1××(－)＝－1， 故D错误． 5．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 B　解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0，同理，可证·＞0，·＞0.所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形． 6．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________． －　解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0， 所以18＋(λ＋1)·3×4×cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－. 7．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|－|＝________，与的夹角为________． 　90°　解析：＝， ·＝2×2×cos 60°＝2， 故|－|2＝ ＝2－·＋2 ＝4－2＋×4＝3. 故|－|＝. 又因为＝＝(－)，故·＝·(－)＝(·－·)＝0，0°≤〈，〉≤180°， 所以〈，〉＝90°. 8．已知正三棱柱ABC­DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________． 　解析：设＝m，则＝m＝m， ∵M为BC的中点， ∴＝＋＝＋m， 又∵＝＋，·＝0， ∴·＝(＋)·(＋m) ＝·＋m·＋·＋m· ＝·＋m·＝－＋4m＝0， ∴解得m＝. 9．已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a与b的夹角． 解：由题意得 即 两式相减得46a·b－23b2＝0， ∴b2＝2a·b，代入7a2＋16a·b－15b2＝0，得a2＝2a·b， ∴a2＝b2＝2a·b. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. ∵0°≤θ≤180°，∴向量a与b的夹角为60°. 10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围为(　　) A．[0，1]　 B．[1，2]　　C．[0，3]　　D．[1，3] C　解析：∵|p|2＝(＋＋)2＝3＋2(＋＋)≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3. 11．如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么(　　) A．·<· B．·＝· C．·>· D．·与·不能比较大小 C　解析：∵·＝(＋)·(－) ＝(||2－||2)＝0， ·＝(＋)· ＝·(－)＋· ＝||·||·cos 120°－||·||cos 120°＋||·||cos 120°<0， ∴·>·. 12．己知e1，e2，e3是空间单位向量，且满足e1·e2＝e2·e3＝，若向量b＝3λe1＋(1－λ)e2，λ∈R.则e3在b方向上的投影的最大值为(　　) A． B． C． D． D　解析：易得e1，e2，e3是空间中两两夹角为60°的单位向量．如下图， 构造棱长为1的正四面体O­