1.3.4 导数的应用举例 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P183] 1．某箱子的容积V与底面边长x的函数关系为V(x)＝x2·(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　) A．30　　　　　　　 B．40 C．50 D．以上都不对 B　解析：V(x)＝－x3＋30x2， ∴V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)， ∴当0<x<40时，V′(x)>0，当40<x<60时，V′(x)<0， ∴V(x)在(0，40)上单调递增，在(40，60)上单调递减， ∴x＝40是V(x)的极大值点，也是最大值点． 2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　) A．2和6 B．4和4 C．3和5 D．以上都不对 B　解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.∴函数y＝83－192x＋24x2在[0，4)上单调递减，在(4，8]上单调递增．所以当x＝4时，y最小． 3．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　　) A． B． C．d D．d C　解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0<x<d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±d(舍去负值).当0<x<d时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当d<x<d时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d.所以x＝d时，f(x)有最大值． 4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数量是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 D　解析：由题意，设总成本为C，总利润为P， 总成本为C＝20 000＋100x， 所以总利润为P＝R－C＝ P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大． 5．(多选)如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10π的半球，底面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为(　　) A．10π B．18π C．30π D．40π ABC　解析：令上部分的半球半径为R， 可得πR3＝10π，解得R＝， 设小圆锥的底面半径为r，小圆锥底面中心到球心的距离为h， 可知r，h和R可构成直角三角形，即r2＋h2＝15， 小圆锥体积V＝πr2(h＋6) ＝π(15－h2)(h＋6)(0＜h＜). 令f(h)＝(15－h2)(h＋6)(0＜h＜)， 则f′(h)＝－3(h＋5)(h－1)， 可知f(h)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 所以当h＝1时，f(h)最大， f(h)max＝f(1)＝98，即Vmax＝π，即A，B，C三个选项都满足题意． 6．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． 　解析：如图所示，设DE＝x(0＜x＜1)，则梯形的周长为3－x， 梯形的面积为 (x＋1)×(1－x)＝(1－x2)， 所以s＝＝×， x∈(0，1)，设h(x)＝， 则h′(x)＝. 令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)， 当x∈(0，)时，h′(x)＜0，h(x)在(0，)上单调递减， 当x∈(，1)时，h′(x)＞0，h(x)在(，1)上单调递增， 故当x＝时，h(x)取得极小值，也是最小值． 所以h(x)min＝h()＝8， 所以smin＝×8＝. 7．要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R＝______时，造价最低． 　解析：设圆柱的高为h，圆柱底面单位面积造价为1，总造价为y， 因为储油罐容积为π， 所以πR2h＋πR3×＝π， 整理得h＝＞0，∴0＜R＜. 所以y＝πR2＋×2πRh＋××4πR2 ＝π(R2＋)， 令u＝R2＋，则u′＝R－， 令u′＞0得＞R＞， 令u′＜0得0＜R＜