1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P181] 1．如图所示，函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象是一条直线，则(　　) A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值，没有最小值 C．函数f(x)没有最大值，有最小值 D．函数f(x)有最大值也有最小值 C　解析：由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在x＝1处取得最小值，没有最大值． 2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　) A．π－1 B．－1 C．π D．π＋1 C　解析：y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在单调递增．当x＝π时，ymax＝π. 3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为(　　) A．0≤a<1 B．0<a<1 C．－1<a<1 D．0<a< B　解析：∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.又∵x∈(0，1)，∴0<a<1. 4．已知函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　　) A．－1 B． C． D．＋1 A　解析：由f(x)＝，得f′(x)＝， 当a＞1时，若x＞，则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若1＜x＜，则f′(x)＞0，f(x)单调递增， 故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，解得a＝＜1，不符合题意． 当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不符合题意． 当0＜a＜1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．此时最大值为f(1)＝＝， 解得a＝－1，符合题意．故a的值为－1. 5．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数且f′(x)>g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的最小值为________________． f(a)－g(a)　解析：F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，所以函数F(x)在定义域内单调递增．所以F(x)min＝F(a)＝f(a)－g(a). 6．函数f(x)＝4x2(x－2)在[－1，1]上的最小值为________，最大值为________． －12　0　解析：∵f(x)＝4x3－8x2，∴f′(x)＝12x2－16x＝4x(3x－4).令f′(x)＝0，则x＝0或x＝. 又x∈[－1，1]，∴f(1)＝－4，f(0)＝0，f(－1)＝－12.∴f(x)的最大值为0，最小值为－12. 7．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________． (－1，0)　解析：f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)， 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＜0， 当－1＜x＜1时，f′(x)＞0， ∴x＝－1是函数f(x)的极小值点． ∵函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1，a)上有最小值，即为极小值． ∴a－1＜－1＜a，解得－1＜a＜0. 易得f(－1)＝－2，令f(x)＝－2， 得x2－3x－2＝0， 即(x＋1)2(x－2)＝0， 解得x＝－1或x－2，因此a≤2， 综上可得a的取值范围是(－1，0). 8．已知函数f(x)＝ex cos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)因为f(x)＝ex cos x－x， 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1， 则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2ex sin x. 当x∈时，h′(x)≤0， 所以h(x)在区间上单调递减． 所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0. 所以函数f(x)在区间上单调递减． 因此，函数f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f()＝－. 9．设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0). (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值． 解：函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a. (1)当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＞0得0＜x＜，令f′(x)＜0得＜x＜2，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2). (2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. 10．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3(其中e为自然对数的底数)