1.3.2 函数的极值与导数 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P179] 1．(多选)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 D．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 AD　解析：结合y＝f′(x)的图象，可知，对A，由于x＝－3的两侧导数符号不同，故－3是极值点；对B，由于－1两侧导数符号相同，因而不是极值点；对C，x＝0处的导数大于零，故在x＝0处的切线斜率大于零；对D，当x∈(－3，1)时导数大于零，因此y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增．综上可知A，D正确． 2．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：f′(x)＝0，但f′(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值，但f(x)有极值，则f′(x)在极值处一定等于0.所以“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件． 3．已知函数y＝x－ln (1＋x2)，则函数y＝x－ln (1＋x2)的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 D　解析：∵y′＝1－(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln (1＋x2)在R上单调递增，无极值． 4．(多选)已知函数f(x)＝x2＋sin x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)有且只有一个极值点 B．设g(x)＝f(x)f(－x)，则g(x)与f(x)的单调性相同 C．f(x)有且只有两个零点 D．f(x)在上单调递增 ACD　解析：由题知，f′(x)＝2x＋cos x， 令h(x)＝2x＋cos x，则h′(x)＝2－sin x＞0恒成立，所以h(x)为R上单调递增， 即f′(x)＝2x＋cos x在R上单调递增， 当x＝0时，f′(x)＝1＞0； 当x＝－时，f′(x)＝－1＋cos ＜0， 所以存在x0∈(－，0)，使得f′(x0)＝0， 所以函数f(x)＝x2＋sin x在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)有且只有一个极值点，故A正确； 因为f(－x)＝x2－sin x， 所以g(x)＝f(x)f(－x)＝x4－sin2x， 所以g′(x)＝4x3－2sinx cos x＝4x3－sin 2x， 所以g′(0)＝0，故g(x)的一个极值点为0， 所以g(x)与f(x)的单调性不相同，故B错误； 因为f(x)有且只有一个极值点x0， x0∈(－，0)，且f(0)＝0， 所以f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上各有一个零点，所以f(x)有且只有两个零点，故C正确； 因为y＝x2与y＝sin x在上都是单调递增， 所以f(x)＝x2＋sin x在上单调递增，故D正确． 5．若函数f(x)＝在x＝a处有极小值，则实数a等于________． 1　解析：由函数f(x)＝在x＝a处有极小值，得x＝a是函数f(x)的极值点，所以f′(a)＝0，由f′(x)＝，所以f′(a)＝＝0，解得a＝1.经检验知a＝1满足题意． 6．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a取值范围为__________． (－1，＋∞)　解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－ax－b， 由f′(1)＝0，得b＝1－a， 所以f′(x)＝. ①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1， 当0＜x＜1时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增， 当x＞1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减， 所以x＝1是f(x)的极大值点； ②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－. 因为x＝1是f(x)的极大值点， 所以－＞1，解得－1＜a＜0， 综合①②可知a的取值范围是(－1，＋∞). 7．f(x)＝sin x＋6cos x＋2x＋cos 2x在x＝x0处取得极值，则cos 2x0＝________． 　解析：由已知f′(x)＝cos x－6sin x＋2－sin 2x， ∵函数f(x)在x＝x0处取得极值， ∴f′(x0)＝cos x0－6sin x0＋2－sin 2x0＝0， ∴cos x0－6sin x0＋2－3sin x0cos x0＝0， 即(1－3sin x0)(2＋cos x0)＝0， ∵|cos x0|≤1，∴2＋cos x0≠0， ∴1－3sin x0＝0，即sin x0＝， ∴cos 2x0＝1－2sin2x0＝1－2×()2＝. 8．已知函数f(x)＝，若函数在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范