1.2.3 简单复合函数的求导 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P171] 1．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′()＝(　　) A．－2　　　B．2　　　　C．　　　　D．－ A　解析：由题意，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x， 所以f′()＝2cos π－2sin π＝－2. 2．函数y＝x ln (2x＋5)的导数为(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2x ln (2x＋5) D． B　解析：y′＝[x ln (2x＋5)]′＝x′ln (2x＋5)＋x[ln (2x＋5)]′＝ln (2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln (2x＋5)＋. 3．设曲线f(x)＝ax－ln (x＋1)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　解析：∵f(x)＝ax－ln (x＋1)，∴f′(x)＝a－. ∵f′(0)＝2.即a－1＝2，解得a＝3. 4．函数y＝cos 2x＋sin 的导数为(　　) A．－2sin 2x＋ B．2sin 2x＋ C．－2sin 2x＋ D．2sin 2x－ A　解析：y′＝－sin 2x·(2x)′＋cos ·()′ ＝－2sin 2x＋·cos ＝－2sin 2x＋. 5．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x ACD　解析：对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误． 6．已知函数f(x)＝f′()sin x cos 2x(其中f′(x)为f(x)的导函数)，则f()＝______． 0　解析：∵f′(x)＝f′()[(sin x)′cos 2x＋sin x(cos 2x)′] ＝f′()(cos x cos 2x－2sin x sin 2x)， ∴f′()＝f′()(cos cos －2sin sin ) ＝－f′()， ∴f′()＝0，∴f(x)＝0，∴f()＝0. 7．已知y＝ln ，则y′＝________． －　解析：y＝ln ＝ln (1＋x2)－＝－ln (1＋x2)，所以y′＝－×·(2x)＝－. 8．已知函数f(x)＝＋ln (x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________________． 7x－4y－2＝0　解析：因为f′(x)＝＋＝＋，所以f′(0)＝＋＝.而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－)＝(x－0)，即7x－4y－2＝0. 9．已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f ′(2)＝5，求实数a的值． 解：f ′(x)＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′ ＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)] ＝(1－ax)2－2ax(1－ax). 由f ′(2)＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5， ∴3a2－2a－1＝0(a>0)，解得a＝1. 10．已知曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解：因为y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′ ＝2e2xcos 3x－3e2xsin 3x， 所以当x＝0时，y′＝2，所以曲线在点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. 设符合题意的直线方程为2x－y＋b＝0(b≠1)，根据题意，得＝，解得b＝6或b＝－4.所以符合题意的直线方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 11．设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________． 　解析：f′(x)＝－sin (x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)＝2sin (x＋φ＋). 若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0， 即0＝2sin (φ＋)，∴φ＋＝kπ(k∈Z). 又∵φ∈(0，π)，即k＝1时，∴φ＝. 12．已知函数f(x)在R上满足f (x)＝2f (2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________． 2x－y－1＝0　解析：f ′(x)＝－2f ′(2－x)－2x＋8， 令x＝1得，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，