1.2.1 几个基本函数的导数 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P167] 1．下列结论正确的个数为(　　) ①若y＝ln 2，则y′＝； ②若f(x)＝，则f′(3)＝－； ③若y＝2x，则y′＝x2x－1； ④若y＝log2x，则y′＝. A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 B　解析：①若y＝ln 2，则y′＝0，故错误； ②若f(x)＝，则f′(x)＝－2x－3， 所以f′(3)＝－2·3－3＝－，故正确； ③若y＝2x，则y′＝2x ln 2，故错误； ④若y＝log2x，则y′＝，故正确． 2．若函数f(x)＝cos x，则f′()＋f()的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 A　解析：因为f(x)＝cos x， 所以f′(x)＝－sin x. 所以f′()＋f()＝－sin ＋cos ＝0. 3．设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 023(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x B　解析：∵f1(x)＝sin x， ∴f′1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝f′1(x)＝cos x， f3(x)＝f′2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x)′＝sin x， … 由此可知，fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N*， ∴f2 023(x)＝f3(x)＝－sin x． 4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的瞬时速度为(　　) A． B． C． D． B　解析： ∴当t＝4时， s′＝×＝ . 5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 C　解析：因为y＝ln x的导数y′＝， 所以令＝，得x＝2， 所以切点为(2，ln 2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 6．(多选)下列求导过程正确的选项是(　　) A．()′＝ B．()′＝ C．(xa)′＝axa－1 D．(logax)′＝ BC　解析：由()′＝－，可知A错误； 由()′＝，可知B正确； 由(xa)′＝axa－1，可知C正确； 由(logax)′＝，可知D错误． 7．已知f(x)＝2x，则f′()＝____________． eln 2　解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2， 所以f′()＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2. 8．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln 5log5x，则曲线f(x)在点A(1，0)处的切线方程为______________. x－y－1＝0　解析：由已知得f′(x)＝ln 5 ＝，所以f′(1)＝1，在点A处的切线方程为x－y－1＝0. 9．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________． 1　解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝， 所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1. 解得x＝1或x＝－.因为x＞0，所以x＝1. 10．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的取值． 解：因为f(x)＝cos x，g(x)＝x， 所以f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1. 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1，1]，所以sin x＝1. 所以x＝2kπ＋，k∈Z. 所以x的取值为. 11．函数y＝f″(x)表示函数y＝f(x)的二阶导数，下列函数中满足f″(x)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln x C　解析：A，f′(x)＝1，f″(x)＝0≠f(x)； B，f′(x)＝cos x，f″(x)＝－sin x≠f(x)； C，f′(x)＝ex，f″(x)＝ex＝f(x)； D，f′(x)＝，f″(x)＝－≠f(x)，综上可知，只有C满足f″(x)＝f(x). 12．点P是函数f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________． 　解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1. ∴x0＝，y0＝， 即点(，)到直线y＝x－1的距离最短． ∴d＝＝. 13