1.1.3 导数的几何意义 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P163] 1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数且f′(x)＞0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) A　解析：函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)＞0在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合． 2．已知直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，且与曲线y＝f(x)相切于点A(2，3)，则当d→0时，→(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 C　解析：∵直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，∴直线l方程为y＝x＋1. 直线l与曲线y＝f(x)相切于点A(2，3)， 可得曲线在x＝2处的导数为f′(2)＝1， 所以→f′(2)＝1(d→0) . 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f′(3)＜f(5)－f(3)＜2f′(5) B．2f′(3)＜2f′(5)＜f(5)－f(3) C．f(5)－f(3)＜2f′(3)＜2f′(5) D．2f′(3)＜2f′(5)＜f(5)－f(3) A　解析：由题图知，f′(3)＜＜f′(5)， 即2f′(3)＜f(5)－f(3)＜2f′(5). 4．(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标为(　　) A．(1，0) B．(1，1) C．(－1，1) D．(0，1) BC　解析：设y＝f(x)＝x3－x＋1， 所以当d→0时， ＝3x2＋3xd＋d2－1→3x2－1， 由点P处的切线平行于直线y＝2x得，3x2－1＝2， 即x2＝1，解得x＝±1，又f(1)＝1，f(－1)＝1， 所以P点坐标为(－1，1)或(1，1). 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线 B．函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当d→0时，＝1 D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0 BD　解析：若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2.又当d→0时，＝－·→－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误； 因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2， 所以f ′(1)＝12－2＝－1， 又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为－1， 所以切线方程为y－2＝－(x－1)， 化简得x＋y－3＝0，故选项D正确． 6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________． 2　解析：∵f ′(1)＝2， 又当d→0时，＝＝ad＋2a→2a， ∴2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3， ∴b＝2.∴＝2. 7．已知函数f(x)＝2x3，则d→0时，→________． 0　解析：根据导数的定义可得当d→0时， ＝＝2d2→0， 8．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为______________． (1，1)　x－2y＋1＝0　解析：由得 ∴两曲线的交点坐标为(1，1).由f(x)＝， 则当d→0时，＝＝→， ∴y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. 9．服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f ′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解：f′(10)＝1.5表示在服药后第10 min附近，血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升． f ′(100)＝－0.6表示服药后第100 min附近，血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降． 10．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 解：∵f(x＋d)－f(x) ＝(x＋d)3＋a(x＋d)2－9(x＋d)－1－(x3＋ax2－9x－1) ＝(3x2＋2ax－9)d＋(3x＋a)d2＋d3，