1.1.2 瞬时变化率与导数 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P161] 1．某物体做直线运动，其运动规律是s(t)＝t2＋(时间t的单位：s，位移s的单位：m)，则它在4 s末的瞬时速度为(　　) A． m/s　　　　　 B． m/s C．8 m/s D． m/s B　解析：∵＝＝＝d＋8－， ∴d→0，→8－＝. 2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝t2，则t＝2 s时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　) A． m/s B． m/s C．1 m/s D．2 m/s B　解析：瞬时速度为＝＝d＋→(d→0). 3．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 AB　解析： ＝ ＝3x＋3x0d＋d2＋1→3x＋1(d→0). 由3x＋1＝4，解得x0＝±1. 4．某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移h(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为h(t)＝－t3－2t＋，则h′(1)的实际意义是(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的瞬时加速度 C　解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为(　　) A．(1，10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1，10) B　解析：结合函数的解析式有 ＝ ＝3d＋6x0＋6→6x0＋6， 则f′(x0)＝6x0＋6(d→0)，令6x0＋6＝0，得x0＝－1， 把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y0＝－2， ∴点P的坐标为(－1，－2). 6．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10，则瞬时速度为0 m/s的时刻是(　　) A． s B． s C． s D． s A　解析：设t＝t0时刻的瞬时速度为0 m/s， 则h(t0＋d)－h(t0)＝－9.8 t0·d＋6.5d－4.9d2， 所以平均变化率为－9.8 t0＋6.5－4.9d， 则当d→0时，－9.8 t0＋6.5－4.9d→－9.8 t0＋6.5， 令－9.8t0＋6.5＝0，解得t0＝ s． 7．函数f(x)＝在x＝x0(x0≠0)处的导数为________，在点________处的导数为. 　(1，1)　解析：f(x0＋d)－f(x0)＝－， 平均变化率为＝， 则→(d→0)， 所以f′(x0)＝ .令＝， 得x0＝1，此时f(x0)＝＝1， 即函数f(x)＝在点(1，1)处的导数为. 8．已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________． 2　－3　解析：平均变化率为 ＝ ＝md＋2mx→2mx(d→0). 故f ′(x)＝2mx＝4x.所以m＝2. 又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3， 故m＝2，n＝－3. 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t＞0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________． 2　解析：S(t)＝·OA·OB＝·t·t＝t2， 则＝ ＝(2t＋d)→t(d→0). 所以S(t)在t＝2时的瞬时变化率是2. 10．若一物体的运动时间t(单位：s)与位移s(单位：m)的函数关系式为s＝求此物体在t＝1 s和t＝5 s时的瞬时速度． 解：当t＝1时，s＝3t2＋2， ∴＝6＋3d→6(d→0)， 即v＝6 m/s. 当t＝5时，s＝29＋3(t－3)2， ∴＝3d＋12→12(d→0)， 即v＝12 m/s. 故此物体在t＝1 s和t＝5 s时的瞬时速度分别是6 m/s和12 m/s. 11．(多选)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是(　　) A．此物体的初速度是3 m/s B．此物体在t＝2 s时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反 C．t＝0 s到t＝2 s时平均速度为1 m/s D．t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s ABC　解析：A中，＝＝3－d→3(d→0)， 即v0＝3 m/s.物体的初速度为3 m/s.故A正确； B中，＝＝－d－1→－1(d→0)， 即此物体在t＝2 s时的瞬时速度为1 m/s， 方向与初速度相反．故B正确； C中，＝＝＝1(m/s).