2.4.4 向量与距离（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．4.4　向量与距离 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握点到平面的距离公式、点到直线的距离公式． 2．能用向量方法解决点到平面、点到直线的距离、两平行线间的距离及两平行平面间距离问题． 3．能描述用向量方法解决距离问题的过程，体会向量方法在研究距离问题中的作用． 通过点到平面的距离公式、点到直线的距离公式的学习以及利用向量方法解决点到平面、点到直线的距离、两平行线间的距离及两平行平面间距离问题，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P77] 如图，直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，过点P作直线l的垂线交l于点D, 则||即为点P到直线l的距离， 点P到直线l的距离d＝||＝＝． 点到平面的距离公式：平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度．如图， 在平面α内任取一点A，作向量，设n是平面α的法向量，则在法向量n上的投影长||＝，即为点P到平面α的距离d. 1．两平行线间的距离 两平行线间的距离处处相等，因而可以利用点到直线的距离求解． 2．两平行平面间的距离 两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的投影长． 如图，A，B分别是平行平面α，β上的任意一点，设n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β之间的距离d＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模．(　　) (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模.(　　) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距．(　　) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距．(　　) (5)线面距、面面距可以转化成点面距．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(　　) A．10　　　B．3　　　　C．　　　　D． D　解析：∵A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴＝(－1，－2，4). ∵n＝(－2，－2，1)，∴·n＝10，|n|＝3， ∴点P到α的距离为＝. 3．已知向量n＝(6，3，4)和直线l垂直，点A(2，0，2)在直线l上，则点P(－4，0，2)到直线l的距离为________. 　解析：＝(－6，0，0)， d＝＝＝. 4．在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为__________． 　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)， 则＝(－2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，－2，0)， 设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则得 取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2，2，1). 所以点B1到平面AD1C的距离d＝＝. [对应学生用书P78] 如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点M到直线AD1的距离． [分析]　利用点到直线的距离公式求解． 解：如题图， 则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，M(0，，)， ＝(－a，0，a)，＝(0，－，)， 直线的一个单位方向向量s＝(－，0，)， | |2＝a2，·s＝a. 所以点M到直线的距离d＝ ＝ ＝a. [变式]　将本题条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值． 解：如题图，则A(a，0，0)，D1(0，0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)， 直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，＝(0，－m，a－m)， 故点M到直线AD1的距离 d＝ ＝ ＝ ， 根式内的二次函数在m＝－＝时取最小值()2－a×＋a2＝a2， 故d的最小值为a. [方法总结]　向量法求点N到直线l的距离的步骤 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：可选择特殊点，便于计算)，计算点M与直线l外的点N的方向向量. 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝ . [训练1]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，