2.4.3 向量与夹角（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．4.3　向量与夹角 课程内容标准 学科素养凝练 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面所成的角及二面角． 2．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面所成的角及二面角． 通过向量方法解决直线与直线、直线与平面所成的角及二面角问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P72] 异面直线所成的角的向量表示式：设两条异面直线a与b所成的角为θ(θ∈(0，])， 它们的方向向量分别是v1，v2，设v1与v2的夹角为φ， 则cos θ＝|cos φ|＝|cos 〈v1，v2〉|＝． 当直线l与平面α相交但不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n的夹角为φ，那么θ与φ有如下关系： θ＝ (如图) 则sin_θ＝|cos φ|＝|cos 〈v，n〉|＝. 　两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，两平面所成角的取值范围为．当两个平面平行时，它们所成的角为0°.设两个平面α1，α2所成角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，记〈n1，n2〉＝φ. 如图，则θ与φ有如下关系： θ＝ (如图) 则cos θ＝|cos_φ|＝|cos 〈n1，n2〉|. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(　　) A． 　　　　　　 B． C． D． D　解析：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)， 则＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)， ∴cos 〈，〉＝＝＝， 即异面直线A1B与AC所成角的余弦值是. 3．已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° B　解析：设l与α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝60°. 4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD所成的二面角为________． 45°　解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB＝PA＝1， 则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 由题意，AD⊥平面PAB， 设E为PD的中点， 连接AE，则AE⊥PD， 且E(0，，). 又CD⊥平面PAD， 所以CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD. 所以＝(0，1，0)，＝(0，，)分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°. 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°. [对应学生用书P74] 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则异面直线PQ与AM所成的角是(　　) A．　　　B．　　 　C．　　 　D． D　解析：以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，＝(0，－1，2)， 所以·＝0， 所以QP与AM所成角为. [方法总结]　求异面直线所成角的方法 (1)几何法 ①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； ②证明：证明所作角符合定义； ③计算：解三角形求解． (2)坐标法 ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线 所成的角． 提醒：两条异面直线所成的角的取值范围是(0，]. [训练1]　如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为__________． 　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz， 设AB＝1.