阶段测试(五) 导数的计算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

阶段测试(五)　导数的计算 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝(　　) A．e－1　　　 B．－1　　　 C．－e－1　　　 D．－e C　[∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋. ∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－.] 2．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x　　　　　　 B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x D　[方法一　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立． ∴a＝1.∴f′(x)＝3x2＋1.∴f′(0)＝1. ∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x. 方法二　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数． ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1.∴f′(0)＝1. ∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.] 3．已知函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝(　　) A．a　　　　　　 B．±a C．－a D．a2 B　[因为y′＝＝＝，所以x－a2＝0，解得x0＝±a.] 4．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　　　 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ D　[圆x2＋y2＝的圆心为原点，半径为，经检验原点与A，D中的直线y＝2x＋1，y＝x＋的距离均为，即两直线与圆x2＋y2＝均相切；原点与B，C中的直线y＝2x＋，y＝x＋1的距离均不是，即两直线与圆x2＋y2＝均不相切，所以排除B，C.将直线方程y＝2x＋1代入y＝，得2()2－＋1＝0，判别式Δ＜0，所以直线y＝2x＋1与曲线y＝不相切．所以排除A.对于D，曲线y＝，则y′＝ .设切点为(x0，y0)，由＝，得x0＝1. ∴切点为(1，1).∴切线方程y－1＝(x－1)，即y＝x＋.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 5．下列四个命题中错误的是(　　) A．曲线y＝x3在原点处没有切线 B．若函数f(x)＝，则f′(0)＝0 C．加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数 D．函数y＝x5的导数的值恒非负 ABC　[A中，y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；B中，f(x)在x＝0处导数不存在；C中，s(t)对时间t的导数为瞬时速度；D中，y′＝5x4≥0.所以A，B，C错误，D正确．] 6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　) A．(1，3)　　　　　　 B．(－1，3) C．(3，－1) D．(1，－3) AB　[f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，得3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3).经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．若函数f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________． 　[∵f(x)＝log3(x－1)，∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝.∴f′(2)＝.] 8．已知函数f(x)＝＋ln (x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________________． 7x－4y－2＝0　[f′(x)＝＋＝＋，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－)＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)求曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程． 解　(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)， 于是有f′(a)＝a2＋3f′(a)，即f′(a)＝－. ∴f(x)＝x3－x.又f(a)＝， 即a3－a3＝，解得a＝－1，