阶段测试(三) 数列（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

阶段测试(三)　数列 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式为an＝(　　) A．n　　　 B．2n　　　 C．2n＋1　　　 D．n＋1 B　[当n＝1时，a1＝S1＝2，排除A，C；当n＝2时，a2＝S2－S1＝6－2＝4，排除D.] 2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．4 D．8 A　[∵a3·a11＝a＝16，∴a7＝4.∴a5＝＝＝1.] 3．(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1　　　　　　 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 B　[方法一　设等比数列{an}的公比为q， 则q＝＝＝2. 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1. 所以an＝a1qn－1＝2n－1， Sn＝＝2n－1. 所以＝＝2－21－n. 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 则 ②÷①，得＝2，即q＝2. 将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以a1＝＝1.下同方法一．] 4．已知公差d不为零的等差数列{an}的首项a1＝50，a7，a15，a17成等比数列，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n的值为(　　) A．16　　　　　　 B．17 C．18 D．19 B　[由题意可知a＝a7a17，即(50＋14d)2＝(50＋6d)(50＋16d)，解得d＝－3或d＝0(舍去)，则Sn＝50n＋n(n－1)·(－3)＝＝－(n－)2＋. 因为n为整数，所以当n＝17时，Sn取得最大值.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论中正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 ABD　[由S5<S6得a6＝S6－S5>0，由S6＝S7得a7＝0，所以d<0.由S7>S8得a8<0，所以S6和S7均为Sn的最大值．由S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，得S9<S5.] 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N＋)，其前n项和为Tn，则下列结论中错误的是(　　) A．Sn<2Tn　　　　　　 B．b4＝0 C．T7>b7 D．T5＝T6 ABC　[因为点(n，Sn)(n∈N＋)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n.当n＝1时，a1＝S1＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11.又a1＝－9满足上式，所以an＝2n－11.又bn＋bn＋1＝an(n∈N＋)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，则2b1＋d＝－9，2b1＋3d＝－7.解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6.所以b6＝0.所以T5＝T6.故选A，B，C.] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn等于________． 2n－1　[设等比数列{an}的公比为q，由题意得 由②式得q3＝，代入①式得a1＝1，q＝2， ∴Sn＝＝2n－1.] 8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 　[设三边为a，aq，aq2(q>1)， 则(aq2)2＝(aq)2＋a2. ∴q2＝.较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解　(1)由题意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1). 因为{an}的各项都为正数，所以＝. 故{an}是首项为1、公比为的等比数列，其通项公式为an＝. 10．(12分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：＋＋