阶段测试(二) 等比数列（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

阶段测试(二)　等比数列 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝(　　) A．－1　　　　B．1　　　　C．－2　　　　D．2 C　[因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0.因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0.所以q＝－2.] 2．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　) A．1　　　　　　 B．－1 C． D．2 D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ(an－). ∵数列{an－1}是等比数列，∴＝1.∴λ＝2.] 3．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则等于(　　) A．－5　　　　　　 B．－3 C．5 D．3 C　[由题意可得，＝＝1＋(－2)2＝5.] 4．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　) A．11　　　　　　 B．13 C．15 D．17 B　[设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1(1＋)＝a(1＋q)(1＋)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×(1＋)×(1＋)×(1＋)＝a≈12.7a.即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍．] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 5．已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a7的值不可能是(　　) A．2　　　　　　 B． C． D． ACD　[由题意知，a5a9＝a，所以＝＋≥2＝2＝.所以a7≥.所以a7的值不可能是2，或.] 6．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值分别为(　　) A．　　　　　　 B．－ C． D． AB　[等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn＝×＝1－(－)n，Sn－＝1－(－)n－. 当n为奇数时，Sn＝1＋随着n的增大而减小，1<Sn＝1＋≤S1＝， Sn－随着Sn的增大而增大， 0<Sn－≤； 当n为偶数时，Sn＝1－随着n的增大而增大，＝S2≤Sn＝1－<1， Sn－随着Sn的增大而增大， －≤Sn－<0. 因此Sn－的最大值为，最小值为－.] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．此人第二天走了________里路． 96　[设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，由题意得＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即此人第二天走了96里路．] 8．(多空题)已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若n2(Tn＋1)＝2nSn，n∈N＋，则d＝__________，q＝________． 2　2　[由＝得＝，∴q＝2，＝1，a1＝，＝1.∴d＝2，q＝2.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)(2021·天津卷选编)已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3－b2＝48. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝b2n＋，n∈N＋，证明{c－c2n}是等比数列． 解　(1)因为{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64. 所以a1＋a2＋…＋a8＝8a1＋×2＝64，所以a1＝1， 所以an＝a1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N＋. 设等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 则b3－b2＝b1q2－b1q＝4(q2－q)＝48，解得q＝4(负值舍去)， 所以bn＝b1qn－1＝4n，n∈N＋. (2)证明　由题意，cn＝b2n＋＝42n＋， 所以c－c2n＝(42n＋)2－(44n＋)＝2·4n， 所以c－c2n≠0，且＝＝4， 所以数列{c－c2n}是等比数列． 10．(