单元素养强化(一) 数列（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

单元素养强化(一)　数列 1．已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　　　　　　　　　 B．27 C．24 D．16 C　[设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a6＝8， ∴2a1＋7d＝8. ∴5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.] 2．已知正数组成的等比数列{an}，若a1·a20＝100，则a7＋a14的最小值为(　　) A．20　　　　　　 B．25 C．50 D．不存在 A　[∵(a7＋a14)2＝a＋a＋2a7·a14≥4a7a14＝4a1a20＝400， ∴a7＋a14≥20.] 3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． D　[由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.] 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝6，则S7＝(　　) A．7　　　　　　 B．14 C．21 D．42 B　[∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＋a6＝6， ∴a2＋a4＋a6＝3a4＝6，解得a4＝2. ∴S7＝(a1＋a7)＝7a4＝14.] 5．数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． C　[因为1，a1，a2，9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为1，b1，b2，b3，9是等比数列，所以b＝1×9＝9.易知b2>0，所以b2＝3.所以＝.] 6．《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比它下面的一圈少0.013尺)此民谣提出的问题的答案是(　　) A．72.705尺　　　　　　 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 B　[因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a1，a2，a3，…，a30，所以数列{an}是首项a1＝0.5、公差d＝0.03的等差数列．又由题意知竹节每圈周长比它下面一圈少0.013尺，设从地面往上每圈周长分别为b1，b2，b3，…，b30，则数列{bn}是首项b1＝1.3、公差d′＝－0.013的等差数列．所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S30＝(30×0.5＋×0.03)＋＝61.395(尺).] 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3－3×2n，n∈N＋，则an＝________． －3×2n－1　[方法一　根据形式，判断出该数列为等比数列，首项为－3，公比为2，故an＝－3×2n－1. 方法二　分情况讨论： ①当n＝1时，a1＝S1＝3－3×21＝－3； ②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3－3×2n)－(3－3×2n－1)＝－3×2n－1. 又当n＝1时，符合上式． 综合①②，得an＝－3×2n－1.] 8．(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 25　[设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a6＝2a1＋6d＝2. 因为a1＝－2，所以d＝1. 所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.] 9．已知等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2a4＝5a3－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋2n－1，求b1＋b2＋b3＋…＋b10. 解　(1)∵等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2a4＝5a3－1， ∴(a1＋1)(a1＋3)＝5(a1＋2)－1，解得a1＝3或a1＝－2(舍去). ∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)＝n＋2. (2)∵bn＝2an－2＋2n－1＝2n＋2n－1， ∴b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋22＋23＋…＋210)＋2(1＋2＋3＋…＋10)－10×1 ＝＋2×－10 ＝2 046＋110－10＝2 146. 10．(2021·全国卷乙理)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求