单元素养强化(三) 导数的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 单元素养强化（三） 导数的综合应用 1.已知函数x)=一x3+ax2一x一1在（一o,十o∞）上是单调函数.则实数a的取值范 围是() A.(-o,-3]u[3.+o) B.【-3.3] C.(-o,-3U(3.+o) D.[-3.3] B[由题意可知f(x）)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)恒成立.则△=4a2-12≤0. 解得-3≤a≤3.] 2.如果函数x)对任意X∈R都满足(x)>X).那么() A.3ln2)>2ln3) B.3fIn 2)=2fIn 3) C.3ln2)<2ln3) D.3ln2)与2In3)的大小不确定 C[爷gx)=f(x)ex, 则g(x)=f(x)-f(x)ex. 因为对任意x∈R都有x)<f(x) 所以g(x)>0,即g(x)在R上单调递增 又ln2<ln3,所以gln2)<gn3). 所以f(ln2)eln2<f(ln3)eln3. 即3n2)<2ln3)J 3.设函数x)=x2+mln(1+x)有两个极值点.则实数m的取值范围是( A.(-1,12） B.(0.12) C.(0.12] D.(-1.12] B[x)的定义域为(-1，+∞).f(x)=2x2+2x+mx+1.合其分子为g(x)=2x2+ 2x+m(x>-1).在区间(-1.+o)上有两个零点，故g(-1)=m>0.112)-1+m <0.解得m∈(0,12).] 4.(2020浙江卷改编)已知1<a≤2，函数x)=e×-x-a.其中e=2.71828.为自 然对数的底数.求证：函数y=x)在(0.十∞)上有唯一零点 证明f(x)=e×-1,x>0, ∴f(x)>0 ∴x)在(0.+o)上单调递增 1<a≤2..2)=e2-2-a≥e2-4>0,0)=1-a<0 ∴由零点存在定理得X)在(0.十∞)上有唯一零点. 5.已知x)=ex-ax2,若x)≥x+(1-x)e×在[0.十o)上恒成立.求实数a的取值 范围。 独家授权侵权必究 学科网书城 画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解x)≥x+(1-x)e×.即ex-ax2≥x+e×-xe×,得e×-ax-1≥0，x≥0. 令hx)=e×-ax-1(x≥0)，则h'（(x)=e×-a(x≥0)， 当a≤1时，由x≥0知h(x)≥0，h(x)在[0.+∞)上单调递增 (x)≥h(0)=0.原不等式恒成立 当a>1时.合h'(x)>0.得x>lna:合h'(x)<0,得0≤x<lna. ∴h(x)在[o,Ina)上单调递减 又h(0)=0.∴当x∈(0.Ina)时.hx)<0. ∴(X)≥0不恒成立 ∴a>1不合题意 综上，a的取值范围是（一oo,1], 6.已知函数x)=x2+2ax+1(a∈R).f(x)是x)的导数 (1)若x∈[-2.一11，不等式x)≤f(x)恒成立.求a的取值范围： (2)解关干x的方程x)=|f(x1. 解(1)P(x)=2x+2a, 因为x)≤f(x), 所以x2+2ax+1≤2x+2a, 即x2-2x+1≤2a(1-x). 因为-2≤X≤一1所以1一x>0 所以a≥x2-2x+12(1-x)在x∈[-2.-1]时恒成立. 因为X2-2x+12(1-x)=1-x2≤32， 所以a≥32.故a的取值范围是[32.+∞). (2)因为x)=f(x1. 所以x2+2ax+1=2x+a. 所以(x+a)2-2|x+a+1-a2=0. 解得|x+a=1+a或|x+a=1-a. ①当a<-1时，lx+a=1-a, 所以x=一1或x=1-2a: ②当-1≤a≤1时.lx+a=1-a或|x+a=1+a. 所以x=±1或x=1-2a或x=-(1+2a): ③当a>1时，lx+a=1+a, 所以x=1或x=-(1+2a) 7.已知函数x)=xlnx. (1)讨论y=x)的单调性并求极值： (2)求证：当x>1时.ln2(x+1)>nxn(x+2). (1)解(x)=lnx+1.x>0,合f(x)=0.得x=1e 当0<x<1e时，f(x)<0.y=x)单调递减：当x>1e时.f(x)>0,y=x)单调递增. x)极小值=1e)=-1e 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y=x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+o∞)上单调递增.极小值为一1e.无极大值 (2)证明合x)=n(x+1)1nx.x>1. h(x)=In xIn (x+1)x (In x)2 =xnx-(x+1)n(x+1)(Inx)2x(x+1). 由(1)可知x)=xnx在(1.+