2.6.1 第2课时 函数单调性的综合问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．若函数h(x)＝2x－在[1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2] A　[因为函数h(x)＝2x－在[1，＋∞)上是增函数，所以h′(x)＝2＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以k≥(－2x2)max＝－2.经检验k＝－2符合题意．] 2．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2]　　　　　　 B．[4，＋∞) C．(－∞，2] D．(0，3] A　[f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－，由f′(x)≤0，解得0<x≤3.由题意知解得1<a≤2.] 3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是(　　) A．b2－4ac>0　　　　　　 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac≤0 D　[∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立． ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0. ∴b2－3ac≤0.] 4．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，则a的取值范围是(　　) A．a>0　　　　　　 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1 A　[ y′＝a(3x2－1)，解3x2－1<0，得－<x<， ∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数． 又y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，∴a>0.] 5．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则下列关系式中正确的是(　　) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)≥g(x) D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a) B　[根据题意，由f′(x)<g′(x)，得f′(x)－g′(x)<0.令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上单调递减，由单调性知，当x∈[a，b]时，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理，得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b).] 6．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________． (0，＋∞)　[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根．所以b>0.] 7．(多空题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1. (1)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，则a的取值集合为________； (2)若f(x)在区间(－1，1)内单调递减，则a的取值集合为________． (1){0}　(2){a|a≤0}　[f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3). (1)∵f(x)的单调递减区间为(－1，1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两个根．∴＝1. ∴a＝0.∴a的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递减， ∴f′(x)≤0在(－1，1)内恒成立．又二次函数y＝f′(x)开口向上，一个根为－1，∴必有≥1.∴a≤0.∴a的取值集合为{a|a≤0}．] 8．设函数f(x)＝ln (x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性． 解　f′(x)＝＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝. 从而f′(x)＝＝，f(x)的定义域为(－，＋∞). 当－<x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<－时，f′(x)<0； 当x>－时，f′(x)>0. 从而f(x)分别在区间(－，－1)，(－，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－)上单调递减． 9．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的取值范围． 解　方法一　f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1，4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1，4)上恒成立，即a(x－1)≥x2－1在(1，4)上恒成立． 所以a≥x＋1. 因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1，4)上恒成立． 又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立． 所以a≤x＋1. 因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立． 综上，5≤a≤7.故a的取值范围是[5，7]. 方法二　如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)].因为在(1，4)上f′(x)≤0，在(6，＋∞)上f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一个根为1，所以另一个根在[4，6]上．所以5≤a≤7.故a的取值范围是[5，7].