2.6.1 第1课时 函数的单调性与导数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(，＋∞)　　　　　　 B．(ln 2，＋∞) C．(ln ，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)，(0，) A　[f′(x)＝(x≠0)，令f′(x)＝>0，解得x>，∴函数f(x)＝的单调递增区间是(，＋∞).] 2．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数 C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数 D．f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数 C　[因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．] 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的(　　 ) C　[由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势可判断函数y＝f′(x)取值的正、负情况如下表： x (－1，b) (b，a) (a，1) f(x) ↘ ↗ ↘ f′(x) － ＋ － 由表可知当x∈(－1，b)时，函数y＝f′(x)的图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数y＝f′(x)的图象在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数y＝f′(x)的图象在x轴下方．] 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　 B．y＝e2x C．y＝x3－x D．y＝ln x－x B　[对于A，显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减；对于B，因为e2为大于零的常数，所以y＝e2x在(0，＋∞)内为增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，故函数在(－∞，－)，(，＋∞)上为增函数，在(－，)上为减函数；对于D，y′＝－1(x>0)，故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．] 5．若函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是________． (0，2)　[令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1<x<3.由1<1＋x<3，解得0<x<2，故函数f(1＋x)的单调递减区间为(0，2).] 6．已知导数f′(x)的下列信息： 当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0. 试画出函数f(x)图象的大致形状． 解　当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增； 当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减； 当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示． 7．设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1，0<x<2π，求函数f(x)的单调区间． 解　由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1，0<x<2π， 知f′(x)＝cos x＋sin x＋1， 于是f′(x)＝1＋sin (x＋).令f′(x)＝0， 从而sin (x＋)＝－，得x＝π或x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，π) π (π，) (，2π) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ π＋2 ↘ ↗ 由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和(，2π)，单调递减区间是(π，). 8．已知函数f(x)＝ax，其中a>1，求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间． 解　由题意知h(x)＝ax－x ln a，定义域为(－∞，＋∞)， 有h′(x)＝ax ln a－ln a． 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) h′(x) － 0 ＋ h(x)   所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞). 9．已知函数f(x)＝－＋ln 2，则(　　) A．f()＝f() B．f()<f() C．f()>f() D．f()，f()的大小关系无法确定 C　[f′(x)＝＝，当x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<<1，所以f()>f().] 10．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1)　　　　　　 B．(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) B　[构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0.又f′(x)>2，∴g′(x)＝f′(x)－2>0.∴g(x)是R上的增函数，g(－1)＝0.∴f