2.3 导数的计算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．下列结论正确的是(　　 ) A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝sin x，则y′＝－cos x C．若y＝，则y′＝－ D．若y＝，则y′＝ C　[∵(cos x)′＝－sin x，∴A不正确； ∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确；∵()′＝－， ∴C正确；∵()′＝，∴D不正确．] 2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　) A．4　　　　　　 B．－4 C．5 D．－5 A　[f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.] 3．若f(x)＝sin x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是(　　) A．　　　　　　 B． C．π D．π A　[∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x. 又f′(α)＝cos α＝， ∴α＝2kπ±(k∈Z).当k＝0时，α＝±，A满足条件．] 4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． B　[∵s′＝t－，∴当t＝4时， s′＝×＝ .] 5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2　　　　　　 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 C　[因为y＝ln x的导数y′＝，令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2).代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.] 6．已知点P在曲线y＝2sin cos 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A．[，π)　　　　　　 B．[－，] C．[，] D．[0，]∪[，π) D　[因为y＝2sin cos ＝sin x，所以y′＝cos x．设P(x0，y0)，由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0.所以－1≤tan α≤1.因为0≤α＜π，所以α∈∪[，π).] 7．曲线y＝x5在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． (1，1)或(－1，－1)　[因为y′＝5x4，令5x4＝5，得x＝1或x＝－1，所以点P的坐标为(1，1)或(－1，－1).] 8．已知函数f(x)＝tan x，则f(x)的图象在点(，)处的切线方程为________________． 4x－y＋－＝0　[f′(x)＝， ∴f′()＝4，即所求切线的斜率为4.∴所求的切线方程为y－＝4(x－)，即4x－y＋－＝0.] 9．已知(cf(x))′＝cf′(x)，其中c为常数，若f(x)＝ln 5log5x，则曲线y＝f(x)在点A(1，0)处的切线方程为____________． x－y－1＝0　[由已知得f′(x)＝ln 5 ＝，所以f′(1)＝1.曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为x－y－1＝0.] 10．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________． 1　[因为f′(x)＝0，g′(x)＝， 所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1. 解得x＝1或x＝－. 因为x＞0，所以x＝1.] 11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的取值． 解　因为f(x)＝cos x，g(x)＝x， 所以f′(x)＝(cos x)′＝－sin x， g′(x)＝x′＝1.由f′(x)＋g′(x)≤0，得 －sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1，1]，所以sin x＝1. 所以x＝2kπ＋，k∈Z. 所以x的取值为. 12．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sin x(0<x<π)，h(x)＝ln x(x>0)，φ(x)＝x2(x>0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c B　[①若g(x)＝sin x，则g′(x)＝cos x．由sin x＝cos x，解得x＝，即a＝<1.②若h(x)＝ln x，则h′(x)＝.由ln x＝，令r(x)＝ln x－，可知r(1)<0，r(2)>0，故1<b<2.③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x.由x2＝2x，x>0，得x＝2，故c＝2.综上，c>b>a.] 13．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　 B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 A　[对于函数y＝sin x