1.3.1 第2课时 等比数列的性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．(多选题)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是(　　) A.{|an|}　　　　　　 B．{an－an＋1} C． D．{kan} AC　[当数列{an}为1，1，1，1，…时，数列{an－an＋1}不是等比数列．当k＝0时，数列{kan}不是等比数列．{|an|}和一定是等比数列．] 2．(2022·全国卷乙文)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　B．12　　　　C．6　　　　D．3 D　[设等比数列{an}的公比为q， 由题意可得 即解得 所以a6＝a1q5＝3.] 3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14等于(　　) A．5　　　　　　 B．6 C．7 D．8 C　[log3b1＋log3b2＋…＋log3b14 ＝log3(b1b2…b14)＝log3(b7b8)7＝7log33＝7.] 4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n　　　　　　 B．n10 C．100n D．n100 A　[设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n. ∴a2·a3·…·an＋1＝10n.] 5．在递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(　　) A．2　　　　　　 B．4 C． D．2 B　[设等比数列{an}的公比为q，在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝.所以q2＝＝.所以q＝(舍去负数)，故a1＝＝4.] 6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________． 　[因为a6a10＝a， a3a5＝a， 所以a＋a＝41. 又因为a4a8＝5, an>0， 所以a4＋a8＝ ＝＝.] 7．(多空题)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝____________，d＝________． 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列， ∴a＝a2a7. ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， 即2d＋3a1＝0.① ∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.② 由①和②解得a1＝，d＝－1.] 8．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值是________． 　[由题意可得 所以y＝. 所以()2＝135xz. 化简得15x2＋15z2＝34xz， 两边同时除以15xz可得＋＝.] 9．已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， ∵an＞0， ∴a3＋a5＞0.∴a3＋a5＝5. (2)由等比数列的性质，得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95. ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解　因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列， 所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)(n≥2). 将cn＝2n＋3n代入上式得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]·[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]， 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，解得 p＝2或p＝3. 11．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　) A．　　　　　　 B．或 C． D．以上都不对 B　[不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4. ∴m＝4＋＝. 对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2. ∴等比数列为，x1，x2.4.∴q3＝＝8. ∴q＝2.∴x1＝1，x2＝2. ∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3.∴＝＝. 若设是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝，m＝3， 则＝.] 12．(多选题)已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋