1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．(多选题)下列说法中，错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列 AB　[根据等比数列的定义可知，A，B错误，C，D正确．] 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，n等于(　　) A．4　　　　　　 B．5 C．6 D．7 D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.] 3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于(　　) A．31.5　　　　　　 B．160 C．79.5 D．159.5 C　[1＋2an＝(1＋2a1)2n－1，所以1＋2a6＝5×25. 所以a6＝＝79.5.] 4．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是(　　) A．1　　　　　　 B． C． D． A　[∵a1＝，a2＝，∴q＝. ∴a4＝a1q3＝×＝1.] 5．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12　　　　　　 B．24 C．30 D．32 D　[设等比数列{an}的公比为q， 则q＝＝＝2. 所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)q5＝1×25＝32.] 6．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________． 18　[由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3. ∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.] 7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________． 3＋2　[设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a1，a3，2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2.] 8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 　[设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石． ∴＋28＋28q＝98.∴q＝2或q＝. 又0<q<1，∴q＝.] 9．已知等比数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝，求数列{an}的通项公式. 解　设等比数列{an}的公比为q， 由a2＝3，a3＋a4＝得 解得或 所以an＝()n－1或an＝－(－)n－1. 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an. ∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2. ∴{an}是首项为－1、公比为2的等比数列． ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. 11．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f　　　　　　 B．f C．f D．f D　[由题知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.] 12．画一个边长为2 cm的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________ cm2. 2 048　[这10个正方形的边长构成首项为2、公比为的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048.] 13．(多空题)若数列{an}为等差数列，数列{2an}为__________数列；若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{lg an}为________数列． 等比　等差　[①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则 ＝2d. ∴{2an}为首项是2a1、公比是2d的等比数列． ②若数列{an}为等比数列，设公比为q， 则lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q. ∴{lg an}为首项是lg a1、公差是lg q的等差数列．] 14．若数列a1，，，…，，…是首项为1、公比为－的等比数列，则a5＝______