1.1.2 数列的函数特性（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．已知an＝3n－2，n∈N＋，则数列{an}的图象是(　　) A．一条直线　　　　　　 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 D　[∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图象是一群孤立的点．] 2．已知数列{an}满足a1＞0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不对 B　[∵a1＞0，an＋1＝an， ∴an＞0，＝＜1. ∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　) A．第10项　　　　　　 B．第11项 C．第12项 D．第13项 C　[因为an＝n－7＋2＝(－)2－，所以易知当n＝12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项．] 4．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a0∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图象是(　　) A　[由an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图象知A正确．] 5．数列{an}的通项公式是an＝，其中a，b都为正实数，则an与an＋1的大小关系是(　　) A．an＞an＋1　　　　　　 B．an＜an＋1 C．an＝an＋1 D．与n有关 B　[an＋1－an＝－ ＝ ＝. 因为a，b∈R＋，n∈N＋，所以an＋1－an＞0，即an＋1＞an.] 6．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______．(填序号) ①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1； ③an＝；④an＝(－1)n. ①③　[可以通过画函数的图象一一判断．②中第1项和第2项相等，④是摆动数列．] 7．已知数列{an}为递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________． (－∞，2)　[因为数列{an}为递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－(n＋)＝1－>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋).所以λ<2.] 8．已知数列{an}的通项公式为an＝()n－1－()n－1.关于数列{an}，给出下列说法：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．其中正确的是________．(填序号) ①②　[令t＝()n－1，t∈(0，1]，t是关于n的减函数，则an＝t2－t＝(t－)2－.由复合函数的单调性知an既有最大项又有最小项，故①和②正确．] 9．已知数列{an}中，an＝(n∈N＋). (1)求a2＋a3； (2)证明{an}是递增数列． (1)解　由已知得a2＋a3＝＋＝. (2)证明　当n≥2时， an－an－1＝－＝>0， 所以an>an－1. 所以{an}是递增数列． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20. (1)判断－60是不是该数列中的项，若是，求出是第几项；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解　(1)由n2－21n＋20＝－60得n＝5或n＝16，所以数列的第5项和第16项都为－60.由n2－21n＋20＜0得1＜n＜20，所以该数列中共有18项小于0. (2)因为an＝n2－21n＋20＝(n－)2－，可知对称轴为n＝＝10.5.又因为n∈N＋，所以当n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为－90. 11．在数列{an}中，已知an＝(c∈R)，则对于任意正整数n有(　　) A．an<an＋1 B．an与an＋1的大小关系和c有关 C．an>an＋1 D．an与an＋1的大小关系和n有关 B　[因为an＝＝1＋，n＋1≥2， 所以当c－1>0，即c>1时，ƒ(n)＝an单调递减，an＋1<an； 当c－1＝0，即c＝1时，an＝1，an＋1＝an＝1； 当c－1<0，即c<1时，ƒ(n)＝an单调递增，an＋1>an. 所以an＋1与an的大小关系和c有关，和n无关．] 12．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，若对任意n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为(　　) A．[6，12]　　　　　　 B．(6，12) C．[5，12] D．(5，12) A　[由题意知n＋≥3＋对任意n∈N＋恒成立， 所以k(－)≥3－n，即k()≥3－n. 当n≥4时，k≤3n，即k≤12； 当n＝1时，k≥3； 当n＝2时，k≥6. 以上三式都成立，故取交集得k∈[6，12].] 13．已知数列{an}满足an＝(n∈N＋)，则数列{an}中的最小项是第________项． 5　[an＝＝＝＋，令3n－16<0，得n<. 又数列{an}在(0，)上单调递减，且n∈