第1章 1.2 数列的函数特性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

第一章数列 课时作业乡 数课时 1.2 数列的函数特性 学作业 纠错空间 [基础达标练] 7.已知数列{an}的通项公式为an 1.已知a,=3n-2,n∈N+,则数列{an}的图像是 ,在下列说法中：①有最大项；②有最 A.一条直线 B.一条抛物线 小项；③没有最大项；④没有最小项.正确的是 C.一个圆 D.一群孤立的点 (填序号) 2.在递减数列{an}中，an=bn(为常数)，则实数 8.已知数列{an}的通项公式为a,=n2-21n k的取值范围是 ( ) +20. A.R B.(0,+o∞) (1)一60是该数列中的项吗？若是，求出项 C.(-∞，0) D.(-o∞，0] 数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ 3.已知数列{an}的通项公式为an=n-7√n十2， (2)当n为何值时，a。有最小值？并求出最 则此数列中数值最小的项是 ( 小值。 A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 4.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中，并且 对任意a,∈(0,1)，由关系式a+1=f(an)得到 的数列{an}满足an+1>an,则该函数的图像是 方法总结 0 5.(多选)对于数列{an},若存在正整数k(k≥2)， 使得ae<as-1,ae<a+1,则称as是数列{an》 的“谷值，k是数列{a,}的“谷值点”，在数列 {an}中，若an= a+号-8 则数列{an}的“谷 值点”为 ( A.2 B.3 C.5 D.7 6.已知数列{an}为递增数列，通项公式为an=n 十入，则入的取值范围是 n 。3 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] [素养培优练] 间 9.已知数列{a,}的通项公式为a。m+13 (n∈ 13.(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷 等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整 纠错空间 N+),且数列{an}从第n项起单调递减，则n 数N。,当n>N。时，an>0”的 () 的最小值为 ( A.充分而不必要条件 A.11 B.12 B.必要而不充分条件 C.13 D.不存在 C充分必要条件 10.（多选)已知数列{an}满足an=k”(n∈N+,0 D.既不充分也不必要条件 <k<1),下列命题正确的有 A.当k= 时，数列口，为递减数列 14在数列a,中，已知a,且a,-号a, B当及=善时，数列a,}一定有最大项 (1)求通项公式an; C.当0<<时，数列a,}为递减数列 (2)求证：{an}是递增数列； D.当色5为正整数时，数列a,必有两项相 3)求证：1<a,<是 等的最大项 11.若数列{an}为单调递增数列，且a。=2n一1+ 会，则a,的取值范围为 1 方法总结 12.已知数列a,的通项公式为a。=1十2m十a' 其中a∈R, (1)若a=一9，求数列{an}的最小项和最 大项； (2)若不等式an≤ag对任意的n∈N+恒成 立，求实数a的取值范围.参考答案 参芳 第一章数列 §1数列的概念及其函数特性 1.1数列的概念 1.C「在A中，{2,4,6,8表示集合，所以A不正确：在B 中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确；在C中， 第k项为分=1十冬，所以C正确：在D中，戴列应记 为{2n-2},所以D不正确.] 2.A[因为a1=2×1+1,a2=2×2+1,a3=2×3+1,a1 =2×4十1，…，所以an=2n十1，故选A.] 3B[由题意可知a,开故第9项为品] 4.B[由题意可知a,-1即是2的倍数，又是3的倍数，即 an一1是6的倍数，则an-1=6(n-1),(n∈N+),所以 an=6n-5,所以a50=50×6-5=295,故选：B.] 5.ACD[取n=1,n=2,n=3分别代入验证可知A,C,D 正确，B不正确.] 6.解析：分析题图可知a1=1,a2=8十1，a1=82十8十1，a1 =83+82+8+1,所以a=84+83+82+8+1=4681. 答案：4681 7.解析：令 n+√n+I =√10-3，即√m+-万=√10 3,.n=9. 答案：9 a+b=2, &解：将4=2a=子代入超项公式得 Aatb_7 44 解得{a所以a,=i3,所以a发=号a 42+3_19, (b=3. 2n 9.CD[对于A,两数列中的数排列次序不相同，所以两数 列不是同一数列，故A错误；对于B,数列1,3,5,7是有 穷数列，而数列1,3,5,7，·是无穷数列，所以两数列不 是同一数列，故B错误；对于C,由数列的定义，可知1， 1,1,.,.能构成一个常数列，故C正确：对于D,该数列的 「n+ 2,n为奇数 一个通项公式为an= ,所以数列1,3,2， 3 之n,n为偶数 6,3,9,4,12,5,15,.存在通项公式，故D正确.故 选：CD.] 10.B[Va+va+…+√a-=nn 2 i瓜+++a=n2w≥2. 两式相减得√a=nn。D_un》=, 2 2 an=n,(n≥2). 又当=1时后-12=1 ∴.an=n.n∈N.故选B.] 课时作业兰 答案 11.解析：从上面的规律可以看出分母呈现以下特点：3=2 -1,8=32-1,24=5-1,即a十b=4-1=15.又被开 方数5,10,17，a一b后一项比前一项分别多5,7,9，故a 41 la- -6=17+9=26.所以0十b15解 2 （a-b=26. 6、1 2 答案：（侵-号）】 12.解：(1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与 项数n的关系式为(n十1)，而每一项的分母恰好比分 子大1，所以通项公式的分母可以为(n十1)”十1.所以 这个数列的一个通项公式为a,= (n+1)2 (n+1)2+11 @品”时可得号<第 片品保叶≥y得心2 片≤器格得十1<6牙得 由、(n+1)? 所以≤5，裤上，该戴列在区问[品】内有项， 并且有4项. 13.解析：由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环 数列，地支是以12个为一个循环的循环数列，从2020 年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则30 ÷10=3,2049年的天千为已，30÷12=2余6,2049年 的地支为已，故2049年为已已年 答案：已已 14.解析：由题意及图形可知，不妨构造数列{an}表示第n 行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点 的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个 空心圆点下一行均为实心圆，点，故从第三行开始，每行 的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和，即1=0， a2=1,且n≥3时，an=am-1十a-2,故第1行到第13行 中实心圆点的个数分别为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34， 55,89,144. 答案：144 1.2数列的函数特性 1.D[an=3n-2,n∈N,∴.数列{an}的图像是一群孤 立的点.门 2.C[:{an}是递减数列，∴a+1-an=k(n十1)-kn=k <0.] 3.C因为a,=n-7厅+2=人面-名）-号，所以易知 当n=12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项 是第12项.] 4.A[由an+1=f(an),a+1>an,得f(an)>an,即f(x)> x,结合图像可知A正确.] 世五维课堂 AD[因为a,=+号-8，所以a=2a=a, 3 2,a1= 4,a6 ,a= 1 =号a=，当≥7， 2 neNa+号-8>0,=+-8=8 -8,此 时数列单调递增，a2<a1,a2<a1,a<a6,a7<a8,所以数 列{an}的“谷值点”为2,7.故选：AD.] 6.解析：因为数列{a,}为递增数列，a,=n十入，所以a+1 a=【m+10+n产]厂(+分)=1-m产D>0… 即λ<n(n十1)(n∈N+).所以λ<2. 答案：(-60,2) 7解：令1=（号）】 t∈(0,1门，t是关于n的减函数，则 a,=f-i=(-之)广-子由复合函教的单调性知@， 既有最大项又有最小项，故①和②正确. 答案：①② 8.解：(1)由n2-21n十20=-60，得n=5或n=16;所以该 数列的第5项和第16项都为一60.由n2-21n十20<0， 得1<k<20,所以该数列中有小于0项，共有18项. (2因为0，-i-21十0-(e一）-的，可知对 称轴为 ,=10.5.又因为n∈N+,所以当n=10或n =11时，an有最小值，其最小值为-90. n n+1 9.A[a,=n130a.1-(m+i+130a,4-a n十1 n -n2-n+130 n2+2m+131n2+130(n2+2n+131)(n2+130) 由数列{an}从第n项起单调递减，可得a+1一an<0, 即-n2-n十130<0，n∈N, 解得m>-1或n<1,☒（合去）， 2 2 ,22<√521<23， 10.5<52T-11. 2 ∴.n≥11，a1>a12>a>..,即从第11项起，{an}单 调递减， n的最小值为11.故选：A.] 10,BCD[当k=2时a1=a:=2,知A错误：当=号 时=青曰，当，尝>1w心42< a 所以可判断{Q,}一定有最大项，B正确；当0<k<之 时，出1=k”+<”≤1，所以数列{a,为递减教 、2n 列，C正确； 当色为正整数时，1>≥子，当k=之时a=a>@ >a1>…,当1>>名时，令。=m∈N,解得= ·4 数学(BS)·选择性必修第二册 m 2,则”十1一2，当nn时，a+1—a·结合 B,数列{α，}必有两项相等的最大项，故D正确；故 选：BCD.] 1.解折：当n≥2时a,-a,1=2m-1十≥-(2m-3十 2产=2-会 因为数列a为单调适增数列，所以2-会>0对m≥2 (nEN)恒成立， 即A<2m+对n≥2(n∈N)恒成立，所以A<8, 所以a,=5计令<6，故a的取值范国为(-，6。 答案：（一0∞，6） 12.解：1)若a=-9,则a,=1十2m-g· 1 于是，游合画发)=1中2的单润性，可知1>a >a2>a3>a1,且a5>a6>a?>…>1. 故数列{a,}的最小项为a=1十2×4-9=0，最大项为 a5=1十2X5-9 2. 1 (2)对an=1十2n中a 。进行变形，可得a,=1十2 n+受 因为不等式an≤ag对任意的n∈N+恒成立，所以结合 1 2 函数f(x)=1十 一的单调性，可知应满足7<一之 a a x十2 <8,解得-16<a<-14.故实数a的取值范围是 (-16,-14). 13.C[设等差数列{an}的公差为d,且d≠0，记[x]为不 超过x的最大整数. 若{an}为单调递增数列，则d>0, 若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0；若a1<0,则a,=a +(n-1)d, 由a,=a十(n-1)d>0,可得n>1-号，取N。= [1-27]十1，则当>V。时a,>0, 所以“{an是递增数列”→“存在正整数V。,当n>N。 时，an>0”； 若存在正整数V。,当n>V。时，an>0,取k∈N"且k> No,a;>0, 假设d<0,令a,=a:十(n-k)d<0可得n>k-7,且 k->， 当m>[-号]十1时a<0,与题设矛盾，假设不成 立，则d>0,即数列{a}是递增数列 参考答案 所以“{an}是递增数列”=“存在正整数N。,当n>N。 时，an>0” 所以，“{an}是递增数列”是“存在正整数N,当n>No 时，a,>0”的充分必要条件.] 14解：0a,=号a,=号 2a 6 2b+1-5 解得=3 3n 3a9 (b=21 因此an=2n十1 (3b+1=7· 3(n+1)3n (2)证明：a+1-a,=2(n+1)十12n十1 3 =(2m+3)(2m+五D>0, a+1>an,故{an}是递增数列. (2m十1D-多 （3)证明：a,=2n十 3n 2 2 3 2n+1 2 2而e≥10，<号4=号2≥ 3 故1a,<号 §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列的概念及其通项公式 1.ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满足a+1一an =3(常数)，所以是等差数列；B中，lg9-lg3=lg27-lg 9=1g81-lg27=lg3(常数)，所以是等差数列；C中，因 为4’一4≠43一4≠42一43，不满足等差数列的定义，所 以不是等差数列；D中，满足an+1一an=一2（常数），所以 是等差数列.] 2.D[依题意，a,十a=a1十d十a1十4d=4,代入a1=3, 得d=号.所以a,=a十(m-1d=3+(m-1D×号 子0子令a,=35,解得m=58] 3.A[因为，a3=2,a,=1,故1 故a方方片=名，所以 1 1 /1 1 1 ag十1ag十1 23x16=号+号=1，故a1 4 0,故选A.] 4.B[设该网店从第一个月起每个月的利润构成等差数 列{an},则a2=2500,a5=4000.由a5=a2十3d,即4 000=2500十3d,得d=500.由am=a2十(m-2)×500 =5000,得m=7.] 5,BD[对于A,根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0 的公差为一2，A错误；对于B,由等差数列的定义可知， 数列a,a-1,a-2,a-3是公差为一1的等差数列，所以 B正确；对于C,由等差数列的通项公式a,=a十(n-1)d 知，n的次幂不能为2次幂，故C错误；对于D,因为am+1 ·年 课时作业乡 -an=2(n十1)十1-(2n十1)=2，所以数列{2n十1}(n∈ N)是等差数列，所以D正确.] 6.解析：由fn十1)=f(n)-,得f(n十1)-fn)=- 1 子(a∈N),f(m)》是-个以-为公差的学差 数列 :f(2)=2,.f(2023)=f(2)+(2023-2)d=2+2 021×(） =-2013 4 答案：-2013 4 7.解析：由题意，数列{an}满足2an+1一2an=1,即an+1一an =,又由a=2,所以数列a,}是首项为2，公差为日 的等差数列，所以a1m=a1十100d=2+100×号=52. 答案：52 8.解：设从第一年起，第n年的利润为a,万元，则a1=200, a+1-an=-20(n∈N). .每年的利润构成首项为200、公差为一20的等差数列{a,. .am=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220 -20n. 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. 由an=220-20<0,得n>11,即从第12年起，该公司 经销这种数码产品将亏损， 9.BCD[对于A,取a=1,b=2,c=3,显然a,b,c成等差 数列，而a2=1,b2=4,c2=9,此时a2,b,c2不成等差数 列，A是假命题；对于B,令a=b=c,显然a,b,c成等差 数列，则2“=2=2°，此时2“，2,2是公差为0的等差数 列，B是真命题； 对于C,因a,b,c成等差数列，则b-a=c-b=d(d为常数)， 于是得(kb十2)-(ka十2)=k(b-a)=kd,(kc十2)-(b 十2)=k(c一b)=kd,而k为常数， 因此，(kb十2)-(ka十2)=(kc+2)-(kb+2)=kd(kd 为常数)， 所以ka十2，kb十2，kc十2(k为常数)成等差数列，C是真 命题； 对于D,令a=b=c≠0，显然a,b,c成等差数列，则】= 名-上比时口·公·上是公发为0的等送载到，D是真 命题.] 10.ABC[由题知，只需a1=2-2>0 0<d<1,a2· \d>0 a1=(2-d)·(2十d)=4-d<4,A正确；a十a1= 2-d)'+(2+d)=d-3d+6≥只，B正确：+1 a ar 2-2a2+2a1->1,C正确a·a,-a·a =(2-2d)·(2+2d)-(2-d)·(2+d)=-3d0, 所以a1·a<a2·a1,D错误.]