1.1.1 数列的概念（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．下列说法中，正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} B．数列3，0，－1，－3与数列－3，－1，0，3是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} C　[在A中，{2，4，6，8}表示集合，所以A不正确；在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确；在C中，第k项为＝1＋，所以C正确；在D中，数列应记为{2n－2}，所以D不正确．] 2．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为(　　) A．1，0，1，0　　　　　　 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0 A　[当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.] 3．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－n＋1　　　　　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝n2＋1 C　[令n＝1，2，3，4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D.] 4．数列，，，，…的第9项是(　　) A．　　　　　　 B． C． D．以上均不对 B　[由题意可知an＝，故第9项为.] 5．(多选题)已知数列{an}前三项分别为－1，0，1，下列各式中，能作为数列{an}的通项公式的有(　　) A．an＝n－2 B．an＝ C．an＝(n－2)5 D．an＝(n－2)＋(n－1)(n－2)(n－3) ACD　[取n＝1，n＝2，n＝3分别代入验证可知A，C，D正确，B不正确．] 6．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式an等于(　　) A．(10n－1)　　　　　　 B．(10n－1) C．(1－) D．(10n－1) C　[代入n＝1检验，排除A，B，D.] 7．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－1，且a2＝3，则a8＝________． 63　[a2＝4k－1＝3，故k＝1，则an＝n2－1.所以a8＝82－1＝63.] 8．数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第________项． 9　[令an＝＝－＝－3，解得n＝9.] 9．已知数列2，，…的通项公式为an＝，求a4，a5. 解　将a1＝2，a2＝代入通项公式得 所以所以an＝.所以a4＝＝，a5＝＝. 10．已知数列{n(n＋2)}． (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解　(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝82＋2×8＝80，a20＝202＋2×20＝440. (2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17或n＝－19(舍去). 所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项． 11．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第25项为(　　) A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9 B　[观察数列，1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，即连续正整数的个数分别为1，2，3，4，…，n，…，故第22项到第28项都为7.所以第25项为7.] 12．已知数列{an}的通项公式为an＝sin nθ，0<θ<，若a3＝，则a15＝________． 　[a3＝sin 3θ＝，又0<θ<，所以0<3θ<.所以3θ＝.所以a15＝sin 15θ＝sin π＝.] 13．在数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是________. (，－)　[从上面的规律可以看出分母呈现以下特点：3＝22－1，8＝32－1，24＝52－1，即a＋b＝42－1＝15.又被开方数5，10，17，a－b后一项比前一项分别多5，7，9，故a－b＝17＋9＝26. 所以解得] 14．在数列{an}中，an＝. (1)求数列的第7项； (2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)在区间(，)内有无数列的项？若有，有几项？ (1)解　a7＝＝. (2)证明　因为an＝＝1－， 所以0<an<1. 故数列的各项都在区间(0，1)内． (3)解　因为<<，所以<n2<2.又n∈N＋， 所以n＝1，即在区间(，)内有且只有一项a1. 15．已知无穷数列，，，，…. (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间[，]内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 解　(1)因为数列的分子依次为4，9，16，25，…可看成与序号n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.所以这个数列的一个通项公式为an＝. (2)若≤an≤，则≤≤. 由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2. 由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5. 所以2≤n≤5. 综上，该数列在区间内有项，并且有4项． 16．如图1是