模块复习课(一) 数列（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

定义法 an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 ＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项和公式 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0)⇔{an}是等比数列 [训练1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1. ∴＝. ∵首项c1＝a1－1，a1＋a1＝1，∴a1＝，c1＝－. 故数列{cn}是首项为－、公比为的等比数列． (2)解　由(1)知，cn＝－×()n－1＝－()n， ∴an＝1－()n. [训练2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)求证：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． (1)证明　由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)解　结论：存在λ＝4满足题意．理由如下： 由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4. 所以数列{a2n－1}是首项为1、公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3； 同理，数列{a2n}是首项为3、公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 综上可得an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身．常用的求通项的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法． 1．观察法 就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式． [训练3]　数列1，3，5，7，…的通项公式为(　　) A．an＝(2n－1)· B．an＝(2n－1)＋ C．an＝(2n＋1)＋ D．an＝ B　[∵1＝1＋，3＝3＋，5＝5＋，…， ∴an＝(2n－1)＋.] 2．公式法 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它． [训练4]　已知数列{an}为无穷数列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N＋)，且a2＝4，a6＝8，求通项an. 解　∵an－1＋an＋1＝2an，∴an－1，an，an＋1成等差数列． 又n≥2且n∈N＋，∴数列{an}为等差数列． 设数列{an}的公差为d. 由可得 ∴通项an＝3＋(n－1)×1＝n＋2. 3．累加法与累乘法 (1)累加法：数列{an}满足关系式an＋1－an＝f(n)(n∈N＋)，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和可求出． (2)累乘法：数列{an}满足关系式＝f(n)(n∈N＋)，而f(1)·f(2)·…·f(n)的积可求出． [训练5]　求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式． 解　∵a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝7－3＝4， a4－a3＝13－7＝6， … an－an－1＝2(n－1)(n≥2). 以上n－1个等式左右两边分别相加，得 an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)] ＝(n－1)n， ∴an＝n2－n＋1(n≥2)，且n＝1时，a1＝1适合上式． ∴an＝n2－n＋1. [训练6]　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求通项an. 解　∵a1＝2，an＋1＝an， ∴＝，＝，…，＝(n≥2). 以上n－1个等式左右两边分别相乘，得 ＝n·2n－1， ∴an＝n·2n(n≥2)，且n＝1时，a1＝2适合上式． ∴an＝n·2n. 4．利用an与Sn的关系 前n项和关系式有两种形式：一种是Sn与n的关系式，记为Sn＝f(n)，则可由公式an＝直接求出通项an，但要注意n＝1与n≥2两种情况能否统一；另一种是Sn与an的关系式，记为f(an，Sn)＝0，求它的通项公式an. [训练7]　已知数列{an}