2.6.1 第2课时 函数单调性的综合问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　函数单调性的综合问题 讨论函数f(x)＝x2－a ln x(a≥0)的单调性． 解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝. 设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0得2x2＝a. 当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，由g(x)＝0得x＝或x＝－(舍去). 当x∈(0，)时，g(x)<0，即f′(x)<0； 当x∈(，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0. 所以，当a>0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增． 综上，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． [变式]　若把本例的条件“a≥0”改为“a<0”，结果如何？ 解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝. 设g(x)＝2x2－a，当a<0时，g(x)>0，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． [方法总结]　讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [训练1]　(2020·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2，讨论f(x)的单调性． 解　f′(x)＝3x2－k. 当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 当k<0时，f′(x)＝3x2－k>0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝±. 当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0； 当x∈(－，)时，f′(x)<0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减． 综上，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当k>0时，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减． [知能解读]　函数在区间(a，b)上的导数与单调性的关系 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求参数a的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：函数为多项式函数且为增函数． 第三步，建立联系寻解题思路：→→. 第四步，书写过程养规范习惯． 解　由已知得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数， 所以实数a的取值范围是(－∞，0]. [变式1]　若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值． 解　f′(x)＝3x2－a， 当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意． 当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－<x<时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－，)上为减函数． ∴f(x)的单调递减区间为(－，)， ∴＝1，解得a＝3. [变式2]　若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围． 解　由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立， ∴即∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞). [变式3]　若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围． 解　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a. 由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0). ∵f(x)在(－1，1)上不单调， ∴0<<1，即0<a<3. ∴a的取值范围是(0，3). [方法总结]　 (1)已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，区间(a，b)是相应单调区间的子集． ②利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． (2)恒成立问题的重要思路 ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. [训练2]　已知函数f(x)＝在(－2，＋∞