2.6.1 第1课时 函数的单调性与导数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； 2．若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减； 3．若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＝0，则在这个区间内，函数y＝f(x)为常数函数． 4．若在某个区间内， f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．(√) (2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f′(x)>0.(×) (3)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(√) 2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　) A.f(x)>0　　　　　　　　 B．f(x)<0 C.f(x)＝0 D．不能确定 A　[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增， ∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0.] 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A.f′(3)>0　　　　　　 B．f′(3)<0 C.f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 B　[由图象可知，函数f(x)在(2，5)上单调递减，故在(2，5)上有f′(x)<0.故f′(3)<0.] 4．已知函数f(x)＝x2－x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，－1)和(0，＋∞)　　　　　　 B．(0，＋∞) C.(－1，0)和(1，＋∞) D．(1，＋∞) D　[方法一　f(x)＝x2－x＝(x－1)2－，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，可知函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞). 方法二　f′(x)＝x－1， 令f′(x)>0，解得x>1. 故函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).] 5．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上单调递________． 增　[∵f(x)＝1＋x－sin x， ∴f′(x)＝1－cos x．∵x∈(0，2π)， ∴cos x∈[－1，1).∴f′(x)＝1－cos x>0. ∴函数f(x)在(0，2π)上单调递增．] 第1课时　函数的单调性与导数 [知能解读]　对导数与函数图象的关系，需注意以下三个方面 (1)函数的单调性与其导数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)内单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)内单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在(a，b)内是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象的关系 ①函数值增加得越来越快，f′(x)>0且f′(x)越来越大； ②函数值增加得越来越慢，f′(x)>0且f′(x)越来越小； ③函数值减少得越来越快，f′(x)<0且f′(x)越来越小，|f′(x)|越来越大； ④函数值减少得越来越慢，f′(x)<0且f′(x)越来越大，|f′(x)|越来越小． (3)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) D　[由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正．对照选项，只有D正确．] [方法总结]　 (1)利用导数判断函数的单调性，只需判断导数在该区间内的正负即可． (2)通过图象研究函数单调性的方法 ①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； ②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [训练1]　设f′(x)是函数f(x)的导数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) D　[A，B，C均有可能．对于D，若C1为导数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导数，则y＝