2.3 导数的计算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§3　导数的计算 课程内容标准 学科素养凝练 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题． 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 定义：一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数 f′(x)＝ ， 那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′. 导数公式表 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln_a，特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝，特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin_x y＝tan x y′＝ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)常数函数的导数是它本身．(×) (2)指数函数的导数还是指数函数．(×) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(×) 2．若f(x)＝cos，则f′(x)＝(　　) A．－sin 　　　　　　　　 B．sin C．0 D．－cos C　[f(x)＝cos ＝，故f′(x)＝0.] 3．(多选题)下列结论正确的是(　ABC　) A．若y＝0，则y′＝0　　　　　　 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x 4．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________． 10ln 10　[∵f′(x)＝10x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10.] 5．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是________． (0，0)　[y′＝3x2，若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k＝0. 由3x2＝0得x＝0，故y＝0，即切点为(0，0).] [知能解读]　关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． 求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝ ； (4)y＝log5x；(5)y＝cos (－x)； (6)y＝sin ；(7)y＝ln x；(8)y＝ex. 解　(1)y′＝－3x－4.　(2)y′＝3x ln 3. (3)y＝ ＝ ＝ ＝x， ∴y′＝. (4)y′＝.　(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.　(7)y′＝.　(8)y′＝ex. [方法总结]　求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [训练1]　(多选题)下列结论错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(sin )′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D．(－)′＝ ABC　[因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误；sin ＝，()′＝0，所以B错误；()′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误；(－)′＝＝＝，所以D正确．] 求曲线y＝ln x在点P(e，1)处的切线方程． 解　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为.所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [变式1]　求曲线y＝ln x过点O(0，0)的切线． 解　因为点O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b). 因为y′＝，所以切线斜率k＝. 又因为k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1. 所以切线方程为x－ey＝0. [变式2]　若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解　问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．y＝mx的图象过(0，0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝.又因为m＝，且b＝ln a，所以＝.解得a＝e，所以m＝＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. [方法总结]　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [训练2]　求过曲线f(x)＝cos x上一点P(，)且与曲线在这点的切线垂直的直线方程． 解　因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－