2.1.1 平均变化率 2.1.2 瞬时变化率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§1　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率． 2．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量． 1.通过变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养直观想象和数学抽象的核心素养． 2．借助求简单函数的平均变化率的学习，提升数学运算的核心素养． 1．定义：对一般的函数y＝f(x)，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝. 2．作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则该函数的平均变化率为＝＝． 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率． 2．作用：瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为0.41.(√) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(×) (3)在计算平均变化率时，Δx，Δy都不可能为零．(×) (4)在求平均变化率时，自变量的增量Δx可以取任意实数.(×) 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝(　D　) A．f(x0＋Δx)　　　　　　 B．f(x0)＋Δx C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 3．一质点的运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt　　　　　　 B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt A　[因为Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝6Δt＋(Δt)2，所以＝6＋Δt.] 4．一质点的运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是________m/s. 2　[因为Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2， 所以＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2.] [知能解读]　对平均变化率的几点说明 (1)对于式子＝＝，Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)的值可正、可负，但Δx＝x2－x1的值不能取0，因为Δx是“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)的值可以取0(如函数f(x)为常数函数时，Δy＝0). (2)求函数平均变化率通常用“两步法”：一是作差，二是作商，即先求出Δy＝f(x2)－f(x1)和Δx＝x2－x1，再对所求得的差作商，即得＝. (3)函数f(x)的平均变化率＝表示函数图象上(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，平均变化率越大，曲线越陡． 求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率． 解　当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝ ＝ ＝＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×(－)＝7. [方法总结]　 (1)①求函数值的增量： Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②计算平均变化率： ＝. (2)要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0.若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0. [训练1]　已知函数y＝(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化率是________． x0＋Δx　[＝ ＝x0＋Δx.] 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如右图所示，试比较两人的速度，哪个快？ 解　s1(t0)＝s2(t0)， s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)， 故<. 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快． [方法总结]　平均变化率的意义 (1)本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论． (2)平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢. [训练2]　某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位