1.4 数列在日常经济生活中的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§4　数列在日常经济生活中的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握单利、复利的概念． 2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用． 3．掌握数列在日常经济生活中的应用． 1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模的核心素养． 2．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算的核心素养． 1．零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取．规定每次存入的钱不计复利． 2．定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和． 3．分期付款：分期付款是购物的一种付款方式，即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． 1．复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n． 2．产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x． 3．单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息.(×) (2)定期自动转存模型是等差数列．(×) (3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．(×) 2．现存入银行10 000元定期存款，存期1年，年利率是1.5%，那么按照复利，5年后本利和是(　　) A．10 000×1.0153元 B．10 000×1.0154元 C．10 000×1.0155元 D．10 000×1.0156元 C　[由复利公式得S＝10 000×(1＋1.5%)5＝10 000×1.0155.] 3．(教材习题改编)小雷2019年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.5%，到2020年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息450元，则小雷存入银行的本金为(　　) A．10 000元　　　　 B．20 000元 C．30 000元 D．40 000元 C　[设小雷存入银行的本金为x元，则x×1.5%＝450，解得x＝30 000.] 4．小明存入银行5万元定期存款，存期1年，年利率为1.5%，那么10年后共得本利和为________万元．(精确到0.001) 5．803　[10年后的本利和：a10＝5×(1＋0.015)10≈5.803(万元).] 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少元？ 解　因为购房时付150万元，所以欠款1 000万元，依题意分20次付款，每次付款的数额顺次构成数列{an}． a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， … an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)， 所以{an}是首项为60、公差为－的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5， a20＝60－19×＝50.5. 所以第10个月应付55.5万元， S20＝×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际花了1 105＋150＝1 255(万元). [方法总结]　 (1)按单利计算公式 单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期． (2)按单利分期付款问题的三个关键问题 ①规定多少时间内付清全部款额． ②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同． ③规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式． [训练1]　某人从1月起每月1日存入100元，到第2年1月1日取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少元？ 解　实际取出的钱等于本金＋利息． 到第2年1月1日取款时， 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， … 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.16