1.3.2 第2课时 数列求和（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　数列求和 课程内容标准 学科素养凝练 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式． 2．掌握数列求和的基本方法． 1.通过求解数列的前n项和培养数学运算的核心素养． 2．通过学习数列求和的方法提升逻辑推理的核心素养． 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由得 ∴bn＝b1qn－1＝3n－1. 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋…＋3n－1)＝＋＝n2＋. [方法总结]　分组求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 [训练1]　等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101. [知能解读]　错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法． (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和． 第二步，精读题目挖已知条件：(1){an}为等差数列，且知道首项和前3项和；(2)数列{bn}由等差数列与等比数列的乘积构成． 第三步，建立联系寻解题思路：(1)通过前3项和并结合首项求出公差，确定数列{an}的通项公式；(2)由数列{bn}的通项公式的结构形式，可考虑错位相减法求和． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12. 又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n. (2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得 Sn＝2×3＋4×32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，① 3Sn＝2×32＋4×33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1.② ①－②，得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1＝3(3n－1)－2n·3n＋1， ∴Sn＝＋n·3n＋1. [方法总结]　应用错位相减法的注意事项 (1)在写出Sn与qSn的表达式时，应使两式对齐，便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式． (2)要讨论公比q是否等于1的情况． [训练2]　(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 解　(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2， 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和． 由(1)及题设可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n. 所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n. 所以Sn＝－. [知能解读]　裂项相消法 (1)数列中的每一项平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法， 叫裂项相消法． (2)常见的裂项方法(其中n为正整数). ①＝(－). ②＝(－). ③＝[－]. ④＝(－). ⑤loga(1＋)＝loga(n＋1)－logan. 设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{a