1.3.1 第2课时 等比数列的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　等比数列的性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来． 2．理解等比数列的性质及应用． 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用． 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和逻辑推理的核心素养． 2．在运用等比数列的性质解题过程中提升数学运算的核心素养． 对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝·qn.根据指数函数的增减性，可分析当q＞0时等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G2＝ab，即G＝±.我们称G为a，b的等比中项． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列.(　　) (2)等比数列{an}中，a1＞1，q＜0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．(　　) (3)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab.反之也成立．(　　) (1)√　(2)×　(3)×　[(1)正确．(2)不正确，如a1＝2，q＝－，则|an|＝2×＝是递减数列．(3)不正确，当G是a，b的等比中项时，G2＝ab成立．但当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如G＝a＝b＝0.] 2．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是________． (1，＋∞)　[因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.] 3．(教材习题改编)7＋3与7－3的等比中项是________． 2或－2　[由题意知7＋3与7－3的等比中项为 ±＝±＝±2.] (1)设x，2x＋2，3x＋3成等比数列，则x＝________． (2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值为________． (1)－4　(2)2　[(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)， 即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4. 当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，所以x＝－4. (2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列， 得则＝(＋)2， 故(a－c)2＝0，即a＝c. 所以＋＝1＋1＝2.] [方法总结]　应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会简化运算过程． [训练1]　(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　) A．1或　　　　　　　　 B．1或－ C．1或 D．1或－ (2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________． (1)D　(2)4×()n－1　[(1)由题意得a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2， 所以或因此的值为1或－. (2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5， 所以a1＝4，a2＝6. 所以q＝＝＝. 所以an＝4×()n－1.] 已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数． 解　设四个数为－a，，a，aq，由题意得 解得或 因此所求的四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32. [变式]　将本例变为“有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首尾两个数和为21，中间两个数和为18”，求这四个数． 解　设这四个数分别为x，y，18－y，21－x，由题意得解得或故所求的四个数为3，6，12，18或，，，. [方法总结]　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，，aq，aq3. [训练2]　若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．±　　　　　　 B． C．1 D．±1 D　[由题知2a＝1＋3，得a＝2.由b2＝4得b＝±2， ∴＝±1.] [知能解读]　等比数列的性质 (1)通项公式的推广 an＝am·qn－m(m，n∈N＋). (2)等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq. ①特别地，当m＋n＝2