1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§3　等比数列 3．1　等比数列 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等比数列的定义． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． 3．熟练掌握等比数列的判定方法． 1.通过对等比数列概念的学习提升数学抽象的核心素养． 2．借助等比数列通项公式的学习提升数学运算的核心素养． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 1．等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0). 2．用函数的观点看等比数列的通项 等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比值为常数，则该数列为等比数列．(×) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(×) (3)常数列一定为等比数列．(×) 2．下列数列中，成等比数列的是(　　) ①－1，－2，－4，－8，…；②1，－，3，－3，…；③x，x，x，x，…；④，，，，…. A．①②③　　　　　　　 B．①② C．①②④ D．①②③④ C　[由等比数列的定义可知，对于③，若x＝0，则不是等比数列．] 3．(教材习题改编)已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝(　　) A．　　　　　　 B．± C． D．± D　[由{an}为等比数列得a5＝a1q4＝12， ∴3×q4＝12.∴q＝±.] 4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为____________． an＝2×5n－1　[数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1.] 判断下列数列是否为等比数列． (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，∴此数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. [方法总结]　判定等比数列，要抓住三个要点 (1)从第2项起． (2)要判定每一项，不能有例外． (3)每一项与它的前一项的比值是同一个常数，且不能为0． [训练1]　(多选题)下列各组数中，成等比数列的是(　　) A．1，－2，4，－8　　　 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 ABD　[A，B显然是等比数列；因为x可能为0，所以C不是等比数列；a不能为0，D符合等比数列的定义，故D是等比数列．] [训练2]　在数列{an}中，an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋).求证：数列{an＋3}是等比数列． 证明　∵an>0，∴an＋3>0. 又an＋1＝2an＋3， ∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3、公比为2的等比数列． [知能解读]　等比数列通项公式的应用技巧 (1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出． (2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个． (3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想． 在等比数列{an}中， (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 解　(1)方法一　设等比数列的公比为q，则 解得 ∴an＝a1qn－1＝(－8)×(－)n－1 ＝(－)n－4. 方法二　设等比数列的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，得q＝－. ∴an＝a5qn－5＝(－)×(－)n－5 ＝(－)n－4. (2)方法一　设等比数列的公比为q， 则解得 从而a1＝＝128. 由a1qn－1＝，即()n－1＝()8，得n＝9. 方法二　设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q， ∴q＝＝. ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18. ∴a4＝16，an＝a4qn－4＝16×()n－4. 由16×()n－4＝，得n－4＝5，∴n＝9. [方法总结]　等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2