1.1.1 数列的概念（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§1　数列 1．1　数列的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解数列通项公式的概念． 2．能根据通项公式确定数列的某一项． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 1.通过对数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养． 2．通过学习数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养． 1．数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第n项an叫数列的通项 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； (2)字母表示：上面数列也可记为{an}． 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1，2，3，4，…，n 无穷数列 项数无限的数列 1，4，9，…，n2，… 1．如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 2．数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列1，2，3，5，7可表示为{1，2，3，5，7}．(×) (2)数列的项不能相等．(×) (3)数列1，2，3，4，…，n2是无穷数列．(×) (4)数列的通项公式可能不唯一．(√) 2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　) A．第9项　　　　　　　 B．第10项 C．第11项 D．第12项 C　[由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11.] 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝____________． 2　[a2＝2×22－3×2＝2.] 4．(教材习题改编)数列2，4，6，8，…的通项公式为________________． an＝2n　[由2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，得该数列的通项公式为an＝2n.] 5．在横线上填入适当的数：3，8，15，________，35，48. 24　[因为3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，35＝62－1，48＝72－1，所以在横线上应填入的数为52－1＝24.] [知能解读]　与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性． (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性). (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性). (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物． (1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 ACD　[根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．] (2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由． ①8，8，8，8； ②－3，－1，1，x，5，7，y，11； ③当n取1，2，3，4，…时，(－1)n的值排成的一列数． 解　①能构成数列，且构成的是有穷数列． ②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的． ③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1，1，…. [方法总结]　数列及其分类的判定方法 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． (2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． [训练1]　(多选题)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数 C．数列{2n＋1}的第6项是13 D．数列的项数是无限的 BC　[对A，因为数列的项是有顺序的，所以两个数列是不同的数列，A错误；对B，由数列和函数的关系可知B正确；对C，由数列的表示可知C正确；对D，因为数列的项数