课后提升练(26) 向量基本定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

课后提升练(二十六)　向量基本定理 [对应学生用书P183] 1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1与e1－e2　　　　　 B．e1＋e2与e1－3e2 C．e1－2e2与－3e1＋6e2 D．2e1＋3e2与e1－2e2 C　解析：∵－3e1＋6e2＝－3(e1－2e2)，∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底． 2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，C，D三点共线 B．B，C，D三点共线 C．A，B，C三点共线 D．A，B，D三点共线 D　解析：因为＝＋＝(－2a＋8b)＋3(a－b)＝a＋5b，所以＝.又与有公共点B，所以A，B，D三点共线． 3．如图，、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则以下等式成立的是(　　) A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p A　解析：∵＝－3，∴＝2. ∴＝＋＝＋＝＋(－). ∴＝－＋.∴r＝－p＋q. 4．在△ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以＝e1，＝e2为基底，则等于(　　) A．e1＋e2 B．e1＋e2 C．e1－e2 D．e1＋e2 A　解析：∵D，E，F依次是BC的四等分点， ∴＝(＋)＝(e1＋e2)， ＝－＝e2－e1， ∴＝＋＝(e1＋e2)＋ ＝(e1＋e2)＋(e2－e1) ＝e1＋e2. 5．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________． －2　解析：∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0. 又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb， 即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2. ∴∴ 6．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底来表示＝__________，＝________. e1＋e2　e1＋e2　 解析：＝＋＝＋＝e1＋(e2－e1)＝e1＋e2，＝＋＝＋＝(e1＋e2)＋(e2－e1)＝e1＋e2. 7．已知A，B，C三点共线，＝－，且＝λ，则实数λ＝__________. 　解析：∵＝－，∴||＝||. 又∵A，B，C三点共线，∴A，B，C的位置如图，即点A为线段BC的三等分点，且|AB|＝|AC|. 又，同向，∴＝，∴λ＝. 8．如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b来表示向量， 则＝________． a＋b　解析：以＝a，＝b作为以A点为公共起点的一组基底，则＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋ub，求λ，u的值． (1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1、e2不共线，得 ∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底． (2)解：设c＝ma＋nb(m、n∈R)， 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. (3)解：由4e1－3e2＝λa＋ub，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋u(e1＋3e2) ＝(λ＋u)e1＋(－2λ＋3u)e2. 所以解得 10．(多选题)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　) A．与　　　　　 B．与 C．与 D．与 AC　解析：B中与共线，D中与共线．A、C中两向量不共线，可作为该平面内所有向量的基底． 11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________. 　解析：如图，由题意知，D为AB的中点，＝， ∴＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－＋. ∴λ1＝－，λ2＝.∴λ1＋λ2＝－＋＝. 12．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________． p＝－m＋n　解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b. 得⇒ 所以p＝－m＋n. 13．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________． －1或3　解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线， 所以ma－3b＝λ[a＋(2－m)