6.2.1 向量基本定理学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦向量基本定理，涵盖共线向量基本定理与平面向量基本定理，引导学生理解共线含义、基底概念及向量分解。通过诊断分析判断题衔接旧知，从共线向量过渡到平面基底构建，形成递进式学习支架。 资料设计诊断分析辨析易错点，探究点结合例题与变式训练，素养小结提炼方法，培养学生数学思维与推理意识。图形示例辅助理解，分层练习助力自主学习，提升数学表达与应用能力，便于教师教学评估。

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 【学习目标】 1.理解两向量共线的含义,并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题; 2.知道平面向量基本定理的含义和基底的含义; 3.会用平面向量基本定理,用基底表示向量. ◆ 知识点一　共线向量基本定理 1.如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得　　　　.  2.如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得　　　　　　　　.  ◆ 知识点二　平面向量基本定理 1.如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=　　　　　　.  平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组　　　　,记为{a,b},此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.  2.当a,b不共线时,若xa+yb=ua+vb,则x=u且y=v. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b共线,则一定存在实数λ,使得b=λa. (　 ) (2)一个平面内只有一组不共线的向量可作为该平面上向量的基底. (　 ) (3)若e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内的所有向量. (　 ) (4)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d. (　 ) ◆ 探究点一　共线向量基本定理 例1 设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线? 变式 (1)已知点C在线段AB上,且=,=λ,则λ= (　 ) A. B.3 C.-3 D.- (2)在梯形ABCD中,AB∥CD且AB=3CD,点P在边BC上,若=+λ,则实数λ=(　 ) A. B. C. D. [素养小结] 共线向量基本定理包含两个方面:(1)如何判断两个向量共线;(2)两个向量共线存在一个关系式,而且这个关系式在一定条件下是唯一的. ◆ 探究点二　用基底表示向量 例2 如图所示,四边形OADB是以OA,OB为邻边的平行四边形,C为对角线的交点,=a,=b,BM=BC,CN=CD,试以{a,b}为一组基底表示,,. 变式 (1)[2023·黑龙江齐齐哈尔高一期中] 设{e1,e2}是平面上向量的一组基底,则下列不能作为一组基底的是 (　 ) A.e2和e1+e2 B.e1和e1-e2 C.2e1-4e2和-e1+2e2 D.e1+2e2和2e1+e2 (2)(多选题)如图,=2,=3,线段BD与CE交于点F,记=a,=b,则 (　 ) A.=a-b B.=-a+b C.=a+b D.=a+b [素养小结] 用基底表示向量时,首先要选择一组合适的基底;在求解过程中要合理利用平面向量基本定理、共线向量基本定理、三角形法则、平行四边形法则等. ◆ 探究点三　平面向量基本定理的应用 例3 (1)在四边形ABCD中,AB∥CD,设=λ+μ(λ,μ∈R).若λ+μ=,则=(　 ) A. B. C. D. (2) 如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在BN上,且=+,则实数m的值为(　 ) A.1 B. C. D. 变式 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=AB=2,E,F分别是BC,BD的中点,AE与BD相交于点G. (1)用基底{,}表示,; (2)若=λ,=μ,求λ+μ的值. [素养小结] 理解平面向量的参数方程式时要注意=(1-t)+t中的三个向量共始点,左边向量的系数是1,右边两个向量的系数之和为1,也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解. 拓展 (多选题)[2023·河南驻马店高一期末] 如图,E,H分别在线段PA,PD上,C是线段AD的中点,F是线段EH的中点,=2,PC与EH交于点G,则= (　 ) A.+ B.+ C.+ D.+ 1.已知向量a,b不共线,则下列向量不能作为一组基底的是 (　 ) A.-a与a+b B.a+b与2a+b C.2a-5b与-4a+10b D.2a+b与a+2b 2.已知P是△ABC所在平面内的一点,=λ+,则点P必在 (　 ) A.△ABC内部 B.直线AC上 C.直线AB上 D.直线BC上 3.如图所示,在正六边形ABCDEF中,设=a,=b,M为CD的中点,则=(　 ) A.2a+b B.2a+b C.2a+b D.2a+2b 4.[2024·辽宁大连高一期末] 在△ABC中,若=m(m≠0),=+λ,则λ= (　 ) A. B. C.- D.- 5.如图,在△ABC中,=,E为线段AD上的动点,且=x+y,则+的最小值为　　　　.  6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 【课前预习】 知识点一 1.b=λa　2.=λ 知识点二 1.xa+yb　基底 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【课中探究】 例1　解:∵=a,=tb(t∈R),=(a+b), ∴=-=tb-a,=-=(a+b)-a=b-a. ∵A,B,C三点共线, ∴存在实数λ,使得=λ,即tb-a=λ. ∵a,b不共线,∴解得 故当t=时,A,B,C三点共线. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)∵点C在线段AB上,且=,∴==(+)=(-),∴=-,即=-3,∴λ=-3.故选C. (2)设=μ,则=+=+μ=+μ(-)=-μ+μ(+)=+μ.因为=+λ,所以1-μ=,λ=μ,可得λ=μ=.故选D. 例2　解:因为===(-)=(a-b), 所以=+=b+a-b=a+b. 因为==,所以=+=+==(+)=(a+b)=a+b, 所以=-=a+b-a-b=a-b. 变式　(1)C　(2)AD　[解析] (1)对于A,假设存在实数m,使得e2=m(e1+e2),则方程组无解,∴e2,e1+e2不共线,可以作为一组基底;对于B,假设存在实数n,使得e1=n(e1-e2),则方程组无解,∴e1,e1-e2不共线,可以作为一组基底;对于C,∵2e1-4e2=-2(-e1+2e2), ∴2e1-4e2和-e1+2e2共线,不能作为一组基底;对于D,假设存在实数t,使得e1+2e2=t(2e1+e2),则方程组无解,∴e1+2e2,2e1+e2不共线,可以作为一组基底.故选C. (2)由题得=+=a-b.设=xa+yb,则=+=a+yb,=+=-a+b.因为∥,所以存在实数m,使=m,则即x-=-y.同理=xa+b,=a-b,因为∥,所以存在实数n,使得=n,则 即y-=-x,所以x=,y=,故=a+b.故选AD. 例3　(1)C　(2)D　[解析] (1)设=k,∵AB∥CD,∴=k,k>0,∵=+=k+=λ+μ,∴又λ+μ=,∴k=,即=.故选C. (2)=+=+(-)=m+.因为N为线段AC上靠近点A的三等分点,所以=m+,因为点P在BN上,所以P,B,N三点共线,所以m+=1,解得m=.故选D. 变式　解:(1)由已知得,=(+),==, ∴=+=(+)+=+. (2)∵FE=DC=AB,∴=4=,=4=, 又=λ,∴λ=.∵F是BD的中点,=, ∴=,=,即=,∴=+==, 又=μ,∴μ=.故λ+μ=. 拓展　CD　[解析] 设=λ,=μ.因为F是线段EH的中点,所以=(+)=+,由=2,可得=.设=t=t(+)=t=t+(-)=+,则解得λ=2μ.设=m+(1-m)=mλ+(1-m)μ.设=n,由C为AD的中点可知=(+),则将λ=2μ代入可得m=,即=+,故C正确.由题得=+=(+),=+=μ+,=μ,设=x+y,则(+)=x(μ+)+yμ,即解得故=+,故D正确.故选CD. 【课堂评价】 1.C　[解析] 对于A,假设存在实数λ,使得a+b=λ(-a),则方程组无解,即不存在实数λ使得a+b=λ(-a),即-a与a+b不共线,故A中向量可以作为一组基底;对于B,假设存在实数μ,使得a+b=μ(2a+b),则方程组无解,即不存在实数μ使得a+b=μ(2a+b),即a+b与2a+b不共线,故B中向量可以作为一组基底;对于C,假设存在实数m,使得2a-5b=m(-4a+10b),则解得m=-,所以2a-5b与-4a+10b共线,故C中向量不能作为一组基底;对于D,假设存在实数n,使得2a+b=n(a+2b),则方程组无解,即不存在实数n使得2a+b=n(a+2b),即2a+b与a+2b不共线,故D中向量可以作为一组基底.故选C. 2.B　[解析] ∵=-,=λ+,∴-=λ+,∴-=λ,∴∥,即与共线,∴点P一定在直线AC上.故选B. 3.C　[解析] =+=2+=2(+)+(-)=2(a+b)+(-b)=2a+2b-b=2a+b.故选C. 4.A　[解析] 由=m,得=+=,所以=,则=+=+=+(-)=+=+λ,故解得故选A. 5.32　[解析] 因为=,所以=,因为=x+y,所以=x+3y. 因为A,D,E三点共线,所以x+3y=1,x>0,y>0, 所以+=·(x+3y)=20++≥20+2=20+12=32, 当且仅当=,即x=y=时取等号,所以+的最小值是32. 学科网（北京）股份有限公司 $