模块复习课(六) 平面向量初步（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

[对应学生用书P115] [对应学生用书P115] 1．向量的加法、减法和数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算． 2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面． 3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题． [训练1]　如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　) A.＋　　　　　 B．－ C．＋ D．－ B　解析：由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－＝－＝－. [训练2]　如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______． 　解析：∵＝，＝， ∴＝，＝2. 由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋， ∴＝λ＝λ(＋)＝λ(＋2) ＝λ＋2λ， ∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝. 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行等问题． [训练3]　已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4a－2b平行，则实数x的值是(　　) A．－2　　　 B．0　　　 C．1　　　 D．2 D　解析：a＋b＝(3，1＋x)，4a－2b＝(0，4－2x). ∵a＋b与4a－2b平行， ∴3(4－2x)＝0.∴x＝2. [训练4]　已知四边形OABC为菱形，菱形的中心为E(5，2)，点A的坐标为(3，7)，求菱形的其余顶点B，C的坐标． 解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，如下图： ∵＝，且＝(2，－5)，＝(x2－5，y2－2)， ∴ ∴ 又∵＝，且＝(5，2)，＝(x1－5，y1－2)， ∴∴ ∴点B坐标为(10，4)，点C坐标为(7，－3). 1．向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题． 2．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题． [训练5]　如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标． 解：∵＝＝(0，5)＝(0，)，∴C(0，). ∵＝＝(4，3)＝(2，)， ∴D(2，). 设M(x，y)，则＝(x，y－5)，＝(2－0，－5)＝(2，－). ∵∥， ∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.　① 又＝(x，y－)，＝(4，)， ∵∥， ∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.　② 联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2). [训练6]　在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解：设ω为风速，va为有风时飞机的航行速度，vb为无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E， 则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－). ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°. ∴|vb|＝150 km/h，方向为北偏西60°. 学科网（北京）股份有限公司 $$