6.3 平面向量线性运算的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.3　平面向量线性运算的应用 课程标准 学科素养 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 3．掌握利用向量方法解决平面几何问题的一般步骤． 通过对平面向量线性运算的应用的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P106] 利用向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以用向量求解和证明平面几何问题． 1．已知A(－1，－)，B(1，)，C(－，2)，D(－，－2). 则直线AB与直线CD(　　) A．垂直　　 B．平行　　 C．相交　　 D．重合 B　解析：＝(2，)，＝(－3，－4). ∵2×(－4)－×(－3)＝0，∴∥. 又＝(，)，而2×－×≠0. ∴与不平行， ∴A、B、C三点不共线． ∴AB∥CD. 2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)，以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是__________，__________. 2　4　解析：以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是|＋|和|－|. ∵＝(3，5)，＝(－1，1)， ∴＋＝(2，6)，－＝(4，4)， ∴|＋|＝＝2，|－|＝＝4. 利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，在涉及这些量的计算时，可以借助向量来完成． 1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) D　解析：由已知F1＋F2＋F3＋F4＝0， 故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2). 2．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　) A．5 N B．5 N C．5 N D．5 N D　解析：两个力的合力的大小为 |F合|＝＝＝5(N). [对应学生用书P107] 在△ABC中，点P是AB上一点且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值． 解：∵＝＋， ∴3＝2＋， 即2－2＝－. ∴2＝，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．∵A，M，Q三点共线， ∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)， 又＝－，∴＝＋(－1). 又＝－＝－，且＝t， ∴＋(－1)＝t(－). ∴解得t＝. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． [训练1]　如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 证明：如下图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设||＝1，则||＝1，||＝2. ∵CE⊥AB，而AD＝DC.∴四边形AECD为正方形． ∴可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)， D(－1，1)，A(－1，0). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝，∴∥，即DE∥BC. (2)连接MB，MD. ∵M为EC的中点，∴M(0，)， ∴＝(－1，1)－(0，)＝(－1，)， ＝(1，0)－(0，)＝(1，－)， ∴＝－，∴∥. 又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线． 一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为______分钟. 30　解析：因为v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12， 所以|v|＝＝＝16(km/h). 因此所需时间t＝＝0.5(小时)＝30(分钟). 故该船到达B处所需的时间为30分钟． 1．解力的问题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成． 2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型． [训练2]　在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图所