6.2.3 平面向量的坐标及其运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6．2.3　平面向量的坐标及其运算 课程标准 学科素养 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2．会用坐标表示平面向量的加、减运算． 3．会用坐标表示平面向量的数乘运算． 4．能用坐标表示平面向量共线的条件． 通过对平面向量的坐标及其运算的学习，强化直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养． [对应学生用书P103] 1．平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量的基底中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． 3．一般地，给定平面内两个互相垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y). 4．对于平面内任意一个向量a，如果把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的坐标就是向量a的坐标． 1．向量正交分解中，两基底的夹角等于(　　) A．45°　　　　　 B．90° C．180° D．不确定 答案：B 2．已知＝(2，－3)，则点A的坐标为(　　) A．(2，3) B．(2，－3) C．(－3，2) D．(3，－2) B　解析：的起点为原点O，则的坐标与终点A的坐标相同． 1．平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等． 2．如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， μ a＋v b＝(μx1＋νx2，μy1＋νy2)， μ a－ν b＝(μx1－νx2，μy1－νy2). 3．如果a＝(x，y)，则|a|＝. 1．(教材改编)若a＝(3，－2)，b＝(－1，4)，则a＋b＝______，a－b＝_________. (2，2)　(4，－6)　解析：a＋b＝(3，－2)＋(－1，4)＝(2，2)，a－b＝(3，－2)－(－1，4)＝(4，－6). 2．已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x、y的值分别为______，______． －1　－2　解析：∵＝(2，0)且a＝，∴(2，0)＝(x＋3，x－3y－5)， ∴解得 知识点3　平面内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，AB＝||＝；设线段AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝. 1．思考辨析 (1)向量的坐标即此向量终点的坐标．(　　) (2)位置不同的向量其坐标可能相同．(　　) (3)一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标.(　　) (4)相等的向量坐标一定相同．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．如图所示，向量的坐标是(　　) A．(1，1)　　　　　　　 B．(－1，－2) C．(2，3) D．(－2，－3) D　解析：由图知，M(1，1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3). 1．设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标． 2．如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2. 1．思考辨析 (1)若a＝(1，－2)，则2a＝(2，－2).(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝.(　　) (3)若A，B，C 三点共线，则向量，，都是共线向量.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　 (3)√　 (4)√ 2．(1)下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(1，2)，b＝(4，2) B．a＝(1，0)，b＝(0，2) C．a＝(0，－2)，b＝(0，2) D．a＝(－3，2)，b＝(－6，－4) (2)若向量m＝(3，－2)与n＝(x，4)共线，则实数x＝________． (1)C　(2)－6　解析：(1)C选项中，b＝－a，所以a与b共线，其余各组向量均不共线．(2)因为两个向量共线，所以3×4＝(－2)×x，解得x＝－6. [对应学生用书P104] (1)如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示、、，并求出它们的坐标； (2)已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标． 解：(1)＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j， 它们的坐标表示为： ＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2). (2)如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴