6.2.1 向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6．2.1　向量基本定理 课程标准 学科素养 1.理解共线向量基本定理的含义． 2．理解基底的含义，并能判断两个向量是否构成基底． 3．理解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示平面向量． 通过学习共线向量基本定理和平面向量基本定理，加强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P96] 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 1．a＝λb⇒a与b共线，正确吗？ 提示　正确． 2．若a与b共线，一定有a＝λb吗？ 提示　不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb. 　(教材改编)已知a与b不共线，且3a＋xb与3a－2b共线，则实数x的值为________． －2　解析：∵a与b不共线，∴3a－2b≠0， 因此由向量共线基本定理可知， 存在实数t，使得3a＋xb＝t(3a－2b)， ∴∴x＝－2，即实数x的值为－2. 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，称为该平面上向量的一组基底，xa＋yb称为c在基底{a，b}下的分解式． 1．思考辨析 (1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示.(　　) (2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．(　　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列说法正确的是(　　) A．平面内的任一向量a，都可以用平面内的两个非零向量e1，e2线性表示 B．当a与两个不共线的非零向量e1，e2之一平行时，a不能用e1，e2线性表示 C．零向量可以作为基底中的向量 D．平面内的基底是不唯一的 D　解析：根据平面向量基本定理可知，只要是不共线的两个向量就可以作为基底，因此基底是不唯一的． [对应学生用书P97] 已知向量e1，e2不共线，且＝e1＋e2，＝2e1＋8e2, ＝3e1－3e2 (1) 求证A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5， ∴，共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线． (2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1. 共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a，b，a∥b是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b＝λa. [训练1]　已知非零向量e1，e2不共线，且向量ke1－4e2和3e1－ke2反向共线，求实数k的值． 解：因为向量ke1－4e2与3e1－ke2反向共线，所以存在实数λ(λ<0)，使得ke1－4e2＝λ(3e1－ke2)， 即ke1－4e2＝3λe1－kλe2，所以(k－3λ)e1＝(4－kλ)e2， 因为非零向量e1，e2不共线， 所以解得或 因为λ<0，所以取k＝－2， 即实数k的值为－2. (1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2　　　　 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是__________． (1)B　 (2)λ≠　解析：(1)B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底． (2)考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当时，向量a、b不共线，可作为一组基底． 1．两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． 2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． [训练2]　(1)设O是▱ABCD的对角线交点，下列各组向量：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的所有向量的基底的是(　　) A．①②　　 B．①③　　 C．①④　　 D．③④