第4章 概率与统计 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

一、条件概率、乘法公式及全概率公式 无论条件概率公式P(A|B)＝，乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)，还是贝叶斯公式P(A|B)＝＝都反映了P(A)，P(B|A)，P(AB)三者之间的转化关系，灵活应用即可． 设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率． 解：记事件A1：“该产品是甲厂生产的”， 事件A2：“该产品为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”， 事件B：“该产品是次品”．由题设知 P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. (1)由全概率公式得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝45%×4%＋35%×2%＋20%×5%＝0.035%. (2)由贝叶斯公式得P(A1|B)＝＝. [训练1] 外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}， 易得P(A)＝，P(B)＝， P(R|A)＝，P(R|B)＝， 事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得 P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝×＋×＝0.59. 即试验成功的概率为0.59. 二、独立重复试验与二项分布 1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． 2．根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立． (1)求某应聘人员被录用的概率； (2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列． 解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C． (1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC． 因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1－)＝，P(C)＝， 所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝. (2)根据题意，X＝0，1，2，3，4，且X～B(4，)， Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4). 因为P(A0)＝C×()4＝，P(A1)＝C××()3＝，P(A2)＝C×()2×()2＝，P(A3)＝C×()3×＝，P(A4)＝C×()4＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P [训练2] 一名学生从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数． (1)求随机变量X的分布列． (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 解：(1)由题意X～B(3，)， 则P(X＝0)＝C×()0×()3＝， P(X＝1)＝C×()1×()2＝， P(X＝2)＝C×()2×()1＝， P(X＝3)＝C×()3×()0＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”． 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 三、超几何分布 对超几何分布的三点说明 1．超几何分布的模型是不放回抽样． 2．超几何分布中的参数是M，N，n. 3．超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、学生中的男和女等问题，往往由具有明显差异的两部分组成． 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数